\oplus Two suppliers manufacture a plastic gear used in a laser printer. The impact strength of these gears measured in foot-pounds is an important characteristic. A random sample of 10 gears from supplier 1 results in \bar{x}_{1}=290 and s_{1}=12, and another random sample of 16 gears from the second supplier results in \bar{x}_{2}=321 and s_{2}=22.
(a) Is there evidence to support the claim that supplier 2 provides gears with higher mean impact strength? Use \alpha=0.05, and assume that both populations are normally distributed but the variances are not equal. What is the P-value for this test?
(b) Do the data support the claim that the mean impact strength of gears from supplier 2 is at least 25 foot-pounds higher than that of supplier 1? Make the same assumptions as in part (a).
(c) Construct a confidence interval estimate for the difference in mean impact strength, and explain how this interval could be used to answer the question posed regarding supplier-tosupplier differences.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras independentes de peças plásticas (fornecedores 1 e 2) com as seguintes informações:
n_{1}=10, \bar{x}_{1}=290, s_{1}=12.
n_{2}=16, \bar{x}_{2}=321, s_{2}=22.
Perguntas pedidas:
(a) Testar, ao nível \alpha=0{,}05, se há evidência de que o fornecedor 2 fornece peças com média de resistência ao impacto maior que a do fornecedor 1. Calcular o P-valor.
(b) Testar, ao mesmo nível e sob mesmas pressuposições, se a média do fornecedor 2 é pelo menos 25 unidades maior que a do fornecedor 1.
(c) Construir um intervalo de confiança para a diferença de médias e explicar como esse intervalo responde sobre a diferença entre fornecedores.
(Neste problema assume-se que as populações são normais, mas as variâncias podem ser diferentes — logo usaremos o teste de Welch.)

Passo 2

Vamos explicar o teste que vamos usar (Welch) e a ideia do procedimento, passo a passo e com fórmulas bem claras.
  1. O parâmetro de interesse é a diferença de médias \mu_{2}-\mu_{1}. A estatística de teste de Welch para hipóteses sobre \mu_{2}-\mu_{1} tem a forma
t \;=\; \frac{\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1} - \Delta_{0}}{\sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}},
onde:
  • \bar{x}_{1},\bar{x}_{2} são as médias amostrais (já dadas);
  • s_{1}^{2},s_{2}^{2} são as variâncias amostrais (já dadas);
  • n_{1},n_{2} são os tamanhos de amostra;
  • \Delta_{0} é o valor da diferença sob a hipótese nula (por ex. 0 ou 25).
  1. A raíz quadrada do denominador é o erro padrão da diferença das médias:
\text{SE} = \sqrt{\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}}.
Vou calcular esse SE com os números do problema.
  1. A estatística t segue aproximadamente uma distribuição t com graus de liberdade dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
\nu \;=\; \frac{\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}}{\dfrac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}+\dfrac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}}.
Essa fórmula dá um \nu geralmente não inteiro; usamos o valor numérico resultante para obter P-valores (ou arredondamos para um inteiro próximo ao consultar tabelas).

Passo 3

Calcular o erro padrão da diferença das médias com os dados:
  1. Calcular as variâncias amostrais: \;s_{1}^{2}=12^{2}=144, \;s_{2}^{2}=22^{2}=484.
  2. Calcular as parcelas:
\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}=\dfrac{144}{10}=14{,}4,\qquad \dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}=\dfrac{484}{16}=30{,}25.
  1. Somando e tirando raiz:
\text{SE}=\sqrt{14{,}4+30{,}25}=\sqrt{44{,}65}\approx 6{,}683.
Guarde esse \text{SE} para os testes e para o intervalo.

Passo 4

Calcular os graus de liberdade aproximados \nu pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
  1. Numerador:
\left(\dfrac{s_{1}^{2}}{n_{1}}+\dfrac{s_{2}^{2}}{n_{2}}\right)^{2}=(44{,}65)^{2}=1993{,}8225.
  1. Denominador: calcular as duas parcelas
\dfrac{s_{1}^{4}}{n_{1}^{2}(n_{1}-1)}=\dfrac{144^{2}}{10^{2}\cdot 9}=\dfrac{20736}{900}=23{,}04,
\dfrac{s_{2}^{4}}{n_{2}^{2}(n_{2}-1)}=\dfrac{484^{2}}{16^{2}\cdot 15}=\dfrac{234256}{3840}\approx 61{,}00417.
Soma do denominador: 23{,}04+61{,}00417\approx 84{,}04417.
  1. Logo
\nu \approx \dfrac{1993{,}8225}{84{,}04417}\approx 23{,}72.
Portanto usaremos \nu\approx 23{,}72 (aproximadamente 24) para obter P-valores e quantis t.

Passo 5

Hipóteses (parte a): queremos saber se o fornecedor 2 tem média maior que o do 1. Em termos formais:
H_{0}:\;\mu_{2}-\mu_{1}=0 \qquad\text{vs.}\qquad H_{A}:\;\mu_{2}-\mu_{1}>0.
  1. Estatística de teste com \Delta_{0}=0:
t=\frac{\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}-0}{\text{SE}}=\frac{321-290}{6{,}683}=\frac{31}{6{,}683}\approx 4{,}64.
  1. Graus de liberdade \nu\approx 23{,}72 (obtido no passo anterior).
  2. P-valor (teste unilateral à direita): P=\Pr(T_{\nu}>4{,}64). Usando a distribuição t com \nu\approx 23{,}72 obtemos um P-valor muito pequeno — numericamente,
P\text{-valor}\approx 2{,}0\times 10^{-5}\quad(\text{aprox. }0{,}00002).
(Explicação rápida: para grandes valores de t a cauda da t-devido diminui rapidamente; com t\approx 4{,}64 e \nu\approx 24 a probabilidade de exceder esse valor é da ordem de 10^{-5}.)
  1. Conclusão: como P-valor \ll \alpha=0{,}05, rejeitamos H_{0}. Há evidência estatística, ao nível 5\%, de que o fornecedor 2 tem média de resistência maior que a do fornecedor 1.

Passo 6

Agora testamos a hipótese de que a diferença é pelo menos 25:
H_{0}:\;\mu_{2}-\mu_{1}=25 \qquad\text{vs.}\qquad H_{A}:\;\mu_{2}-\mu_{1}>25.
  1. Estatística de teste com \Delta_{0}=25:
t=\frac{\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}-25}{\text{SE}}=\frac{31-25}{6{,}683}=\frac{6}{6{,}683}\approx 0{,}898.
  1. Mesmos graus de liberdade \nu\approx 23{,}72.
  2. P-valor (unilateral à direita): P=\Pr(T_{\nu}>0{,}898). Consultando a t-com \nu\approx 24, esse valor corresponde a
P\text{-valor}\approx 0{,}187\quad(\text{aprox. }0{,}19).
  1. Conclusão: como P-valor >\alpha=0{,}05, não rejeitamos H_{0}. Ou seja, os dados não fornecem evidência suficiente, ao nível 5\%, para suportar a afirmação de que a média do fornecedor 2 é pelo menos 25 unidades maior que a do fornecedor 1.

Passo 7

Construímos um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{2}-\mu_{1} usando Welch:
  1. Fórmula do intervalo:
(\bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}) \pm t_{\nu,\,0{,}975}\cdot \text{SE},
onde t_{\nu,\,0{,}975} é o quantil da t-com \nu graus de liberdade tal que \Pr(|T|>t_{\nu,0{,}975})=0{,}05 (dois lados).
  1. Usando \nu\approx 23{,}72, aproximamos t_{\nu,\,0{,}975}\approx t_{24,\,0{,}975}\approx 2{,}064 (tabelas/tipos de calculadora dão valores muito próximos para \nu nessa vizinhança).
  2. Já temos \bar{x}_{2}-\bar{x}_{1}=31 e \text{SE}\approx 6{,}683. O termo de margem é
\text{ME}=2{,}064\times 6{,}683\approx 13{,}79.
  1. Intervalo:
31-13{,}79 \;=\; 17{,}21,\qquad 31+13{,}79 \;=\; 44{,}79.
Portanto um intervalo de confiança de 95\% para \mu_{2}-\mu_{1} é aproximadamente
\bigl(17{,}21,\;44{,}79\bigr).
  1. Interpretação prática:
  • O intervalo está completamente acima de 0, o que confirma o resultado do item (a): há evidência de que a média do fornecedor 2 é maior que a do fornecedor 1.
  • No entanto, o valor 25 está dentro do intervalo (pois 17{,}21<25<44{,}79). Isso quer dizer que, com os dados disponíveis, não podemos afirmar com 95\% de confiança que a diferença é pelo menos 25 — o valor 25 é plausível à luz dos dados, portanto não rejeitamos a hipótese “diferença \ge 25” com o nível usado (concorda com o resultado do item (b)).
Em resumo: o intervalo quantifica a incerteza e mostra que a diferença média está em torno de 31 com margem de erro cerca de 13{,}8; isso responde diretamente às perguntas sobre se a diferença é positiva e se é pelo menos 25.

Resposta

(a) Teste unilateral: estatística t\approx 4{,}64, graus de liberdade \nu\approx 23{,}72. P-valor \approx 2{,}0\times 10^{-5}. Rejeita-se H_{0}; há evidência de que o fornecedor 2 tem média maior.
(b) Teste com \Delta_{0}=25: t\approx 0{,}898, P-valor \approx 0{,}187. Não se rejeita H_{0}; os dados não suportam, ao nível 5\%, a afirmação de que a média do fornecedor 2 é pelo menos 25 maior.
(c) Intervalo de confiança de 95\% para \mu_{2}-\mu_{1}: \bigl(17{,}21,\;44{,}79\bigr). Este intervalo mostra diferença positiva (confirmando (a)), mas contém 25, por isso não permite concluir firmemente que a diferença é ao menos 25.

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