Two suppliers manufacture a plastic gear used in a laser printer. The impact strength of these gears measured in foot-pounds is an important characteristic. A random sample of 10 gears from supplier 1 results in
and
, and another random sample of 16 gears from the second supplier results in
and
.
(a) Is there evidence to support the claim that supplier 2 provides gears with higher mean impact strength? Use
, and assume that both populations are normally distributed but the variances are not equal. What is the
-value for this test?
(b) Do the data support the claim that the mean impact strength of gears from supplier 2 is at least 25 foot-pounds higher than that of supplier 1? Make the same assumptions as in part (a).
(c) Construct a confidence interval estimate for the difference in mean impact strength, and explain how this interval could be used to answer the question posed regarding supplier-tosupplier differences.
(a) Is there evidence to support the claim that supplier 2 provides gears with higher mean impact strength? Use
(b) Do the data support the claim that the mean impact strength of gears from supplier 2 is at least 25 foot-pounds higher than that of supplier 1? Make the same assumptions as in part (a).
(c) Construct a confidence interval estimate for the difference in mean impact strength, and explain how this interval could be used to answer the question posed regarding supplier-tosupplier differences.
Passo 1
O enunciado dá duas amostras independentes de peças plásticas (fornecedores 1 e 2) com as seguintes informações:
,
,
.
,
,
.
Perguntas pedidas:
(a) Testar, ao nível , se há evidência de que o fornecedor 2 fornece peças com média de resistência ao impacto maior que a do fornecedor 1. Calcular o
-valor.
(b) Testar, ao mesmo nível e sob mesmas pressuposições, se a média do fornecedor 2 é pelo menos unidades maior que a do fornecedor 1.
(c) Construir um intervalo de confiança para a diferença de médias e explicar como esse intervalo responde sobre a diferença entre fornecedores.
(a) Testar, ao nível
(b) Testar, ao mesmo nível e sob mesmas pressuposições, se a média do fornecedor 2 é pelo menos
(c) Construir um intervalo de confiança para a diferença de médias e explicar como esse intervalo responde sobre a diferença entre fornecedores.
(Neste problema assume-se que as populações são normais, mas as variâncias podem ser diferentes — logo usaremos o teste de Welch.)
Passo 2
Vamos explicar o teste que vamos usar (Welch) e a ideia do procedimento, passo a passo e com fórmulas bem claras.
- O parâmetro de interesse é a diferença de médias
. A estatística de teste de Welch para hipóteses sobre tem a forma
onde:
-
são as médias amostrais (já dadas); -
são as variâncias amostrais (já dadas); -
são os tamanhos de amostra; -
é o valor da diferença sob a hipótese nula (por ex. ou ).
- A raíz quadrada do denominador é o erro padrão da diferença das médias:
Vou calcular esse SE com os números do problema.
- A estatística
segue aproximadamente uma distribuição com graus de liberdade dados pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
Essa fórmula dá um
geralmente não inteiro; usamos o valor numérico resultante para obter
-valores (ou arredondamos para um inteiro próximo ao consultar tabelas).
Passo 3
Calcular o erro padrão da diferença das médias com os dados:
-
Calcular as variâncias amostrais:
, . -
Calcular as parcelas:
- Somando e tirando raiz:
Guarde esse
para os testes e para o intervalo.
Passo 4
Calcular os graus de liberdade aproximados
pela fórmula de Welch–Satterthwaite:
- Numerador:
- Denominador: calcular as duas parcelas
Soma do denominador:
- Logo
Portanto usaremos
(aproximadamente 24) para obter
-valores e quantis
.
Passo 5
Hipóteses (parte a): queremos saber se o fornecedor 2 tem média maior que o do 1. Em termos formais:
- Estatística de teste com
:
-
Graus de liberdade
(obtido no passo anterior). -
-valor (teste unilateral à direita): . Usando a distribuição com obtemos um -valor muito pequeno — numericamente,
(Explicação rápida: para grandes valores de
a cauda da
-devido diminui rapidamente; com
e
a probabilidade de exceder esse valor é da ordem de
.)
- Conclusão: como
-valor , rejeitamos . Há evidência estatística, ao nível , de que o fornecedor 2 tem média de resistência maior que a do fornecedor 1.
Passo 6
Agora testamos a hipótese de que a diferença é pelo menos
:
- Estatística de teste com
:
-
Mesmos graus de liberdade
. -
-valor (unilateral à direita): . Consultando a -com , esse valor corresponde a
- Conclusão: como
-valor , não rejeitamos . Ou seja, os dados não fornecem evidência suficiente, ao nível , para suportar a afirmação de que a média do fornecedor 2 é pelo menos unidades maior que a do fornecedor 1.
Passo 7
Construímos um intervalo de confiança de
para
usando Welch:
- Fórmula do intervalo:
onde
é o quantil da
-com
graus de liberdade tal que
(dois lados).
-
Usando
, aproximamos (tabelas/tipos de calculadora dão valores muito próximos para nessa vizinhança). -
Já temos
e . O termo de margem é
- Intervalo:
Portanto um intervalo de confiança de
para
é aproximadamente
- Interpretação prática:
- O intervalo está completamente acima de
, o que confirma o resultado do item (a): há evidência de que a média do fornecedor 2 é maior que a do fornecedor 1. - No entanto, o valor
está dentro do intervalo (pois ). Isso quer dizer que, com os dados disponíveis, não podemos afirmar com de confiança que a diferença é pelo menos — o valor é plausível à luz dos dados, portanto não rejeitamos a hipótese “diferença ” com o nível usado (concorda com o resultado do item (b)).
Em resumo: o intervalo quantifica a incerteza e mostra que a diferença média está em torno de
com margem de erro cerca de
; isso responde diretamente às perguntas sobre se a diferença é positiva e se é pelo menos
.
Resposta
(a) Teste unilateral: estatística
, graus de liberdade
.
-valor
. Rejeita-se
; há evidência de que o fornecedor 2 tem média maior.
(b) Teste com :
,
-valor
. Não se rejeita
; os dados não suportam, ao nível
, a afirmação de que a média do fornecedor 2 é pelo menos
maior.
(c) Intervalo de confiança de para
:
. Este intervalo mostra diferença positiva (confirmando (a)), mas contém
, por isso não permite concluir firmemente que a diferença é ao menos
.
(b) Teste com
(c) Intervalo de confiança de