ou seja, para cada inteiro n\ge 2 aparecem, na sequência, os racionais \dfrac{k}{n} com k=1,2,\dots,n-1 (em ordem crescente de n).
A pergunta é: para quais números \alpha existe uma subsequência dessa sequência que converge para \alpha ?
Passo 2
Primeira observação simples (limitação dos possíveis limites). Para todo termo \dfrac{k}{n} tem-se
0<\frac{k}{n}<1,
pois 1\le k\le n-1. Assim todos os termos da sequência pertencem ao intervalo (0,1). Portanto qualquer limite de subsequência (se existir) deve pertencer ao fecho desse intervalo, isto é, ao intervalo [0,1]. Conclusão parcial:
\text{se \(\alpha\) for limite de alguma subsequência então } \alpha\in[0,1].
Passo 3
Mostro agora que os extremos 0 e 1 são de fato limites de subsequências distintas.
Para \alpha=0: os termos \dfrac{1}{n} (com n=2,3,4,\dots) pertencem à sequência. E \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Assim existe subsequência convergente a 0.
Para \alpha=1: os termos \dfrac{n-1}{n} (com n=2,3,4,\dots) pertencem à sequência. E \dfrac{n-1}{n}=1-\dfrac{1}{n}\to 1 quando n\to\infty. Assim existe subsequência convergente a 1.
Passo 4
Agora tratamos o caso geral \alpha\in(0,1). A ideia é construir, para cada n suficientemente grande, um inteiro k_n\in\{1,\dots,n-1\} de modo que \dfrac{k_n}{n} se aproxime de \alpha. A construção padrão é aproximar n\alpha por um inteiro.
Escolha, para cada n, um inteiro k_n tal que
|k_n-n\alpha|\le \tfrac12.
Esse inteiro existe porque entre dois inteiros consecutivos a distância é 1, então sempre há um inteiro à distância \le\tfrac12 de qualquer número real (tomando o inteiro mais próximo). Note que para que k_n seja permitido (isto é, pertença ao conjunto \{1,\dots,n-1\}) precisamos de 1\le k_n\le n-1. Mas para \alpha\in(0,1) existe N suficientemente grande tal que para todo n\ge N vale
1\le n\alpha\le n-1,
pois n\alpha\to\infty e n(1-\alpha)\to\infty com n. Consequentemente, para n grande, o inteiro mais próximo k_n satisfaz 1\le k_n\le n-1, e então \dfrac{k_n}{n} é realmente um termo da sequência.
Passo 5
Avalio o erro dessa aproximação. Da escolha de k_n vem
Como \dfrac{1}{2n}\to 0 quando n\to\infty, concluímos que \dfrac{k_n}{n}\to\alpha quando n\to\infty (pelo menos para os n suficientemente grandes em que k_n\in\{1,\dots,n-1\}; desprezando finitos termos iniciais isso dá uma subsequência infinita convergente a \alpha). Portanto qualquer \alpha\in(0,1) é limite de alguma subsequência.
Passo 6
Reunindo as conclusões:
Nenhum \alpha\notin[0,1] pode ser limite porque todos os termos pertencem a (0,1).
Para \alpha=0 e \alpha=1 já exibimos subsequências convergentes.
Para todo \alpha\in(0,1) construímos uma subsequência \dfrac{k_n}{n} que converge para \alpha.
Logo o conjunto completo dos pontos que aparecem como limites de subsequências é exatamente o intervalo [0,1]. (Intuição: para cada n a lista \{k/n: k=1,\dots,n-1\} é uma malha de passo 1/n em (0,1), e à medida que n cresce essa malha aproxima arbitrariamente bem qualquer ponto de [0,1].)
Resposta
Todos os \alpha tais que 0\le \alpha\le 1, isto é, todo \alpha\in[0,1].