Verify each of the following limits.
(ix) \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\alpha(n)}{n}=0, where \alpha(n) is the number of primes which divide n. Hint: The fact that each prime is \geq 2 gives a very simple estimate of how small \alpha(n) must be.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos: quer-se provar que
\lim_{n\to\infty}\frac{\alpha(n)}{n}=0,
onde \alpha(n) é o número de primos distintos que dividem n. Informação útil dada (e simples): cada primo que divide n é \geq 2. Não há outras hipóteses ocultas.

Passo 2

Uma estimativa básica envolvendo os primos que dividem n. Seja p_1,p_2,\dots,p_k a lista dos primos distintos que dividem n, onde k=\alpha(n). Então o produto desses primos
p_1 p_2\cdots p_k
divide n (porque em n cada primo aparece com algum expoente \ge 1), logo
p_1 p_2\cdots p_k \le n.

Passo 3

Usando que cada p_i\ge 2, obtemos a estimativa simples
2^{\alpha(n)} = 2^k \le p_1 p_2\cdots p_k \le n.
Essa desigualdade é o coração da ideia: o produto de k primos distintos é pelo menos 2^k, portanto 2^{\alpha(n)}\le n.

Passo 4

Tomando logaritmo na base 2 da desigualdade 2^{\alpha(n)}\le n obtemos
\alpha(n) \le \log_2 n.
Dividindo ambos os lados por n (que é positivo para n\ge1),
0 \le \frac{\alpha(n)}{n} \le \frac{\log_2 n}{n}.

Passo 5

Passo técnico: mostrar que o termo da direita tende a 0. Reescrevendo em termos do logaritmo natural,
\frac{\log_2 n}{n}=\frac{\ln n}{n\ln 2}.
É um fato padrão (pode ser visto aplicando o lema de l’Hôpital ao quociente \frac{\ln x}{x} quando x\to\infty, ou observando que a função x\mapsto\frac{\ln x}{x} é positiva e, para x\ge e, decrescente com limite 0) que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.
Logo, como \ln 2 é constante positiva,
\lim_{n\to\infty}\frac{\log_2 n}{n}=0.

Passo 6

Aplicando o teorema do confronto (squeeze): para todo n vale
0 \le \frac{\alpha(n)}{n} \le \frac{\log_2 n}{n},
e a parte direita tende a 0. Portanto a sequência \frac{\alpha(n)}{n} também tende a 0. Isso prova o limite pedido.

Resposta

0

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