Verify each of the following limits.
(ix)
, where
is the number of primes which divide
. Hint: The fact that each prime is
gives a very simple estimate of how small
must be.
(ix)
Passo 1
O que o problema pede e o que temos: quer-se provar que
onde
é o número de primos distintos que dividem
. Informação útil dada (e simples): cada primo que divide
é
. Não há outras hipóteses ocultas.
Passo 2
Uma estimativa básica envolvendo os primos que dividem
. Seja
a lista dos primos distintos que dividem
, onde
. Então o produto desses primos
divide
(porque em
cada primo aparece com algum expoente
), logo
Passo 3
Usando que cada
, obtemos a estimativa simples
Essa desigualdade é o coração da ideia: o produto de
primos distintos é pelo menos
, portanto
.
Passo 4
Tomando logaritmo na base
da desigualdade
obtemos
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo para
),
Passo 5
Passo técnico: mostrar que o termo da direita tende a
. Reescrevendo em termos do logaritmo natural,
É um fato padrão (pode ser visto aplicando o lema de l’Hôpital ao quociente
quando
, ou observando que a função
é positiva e, para
, decrescente com limite
) que
Logo, como
é constante positiva,
Passo 6
Aplicando o teorema do confronto (squeeze): para todo
vale
e a parte direita tende a
. Portanto a sequência
também tende a
. Isso prova o limite pedido.