Find all convergent subsequences of the sequence
, … . (There are infinitely many, although there are only two limits which such subsequences can have.)
Passo 1
O enunciado pede: “Achar todas as subsequências convergentes” da sequência
. Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
- A sequência original alterna entre
e . - Para todo
vale que o termo de ordem é
ou seja,
quando
é ímpar e
quando
é par.
- O problema afirma que existem infinitas subsequências convergentes, mas apenas dois possíveis limites. A tarefa é descrever todas essas subsequências convergentes.
Passo 2
Lembrando a definição de subsequência e de convergência, de forma bem concreta:
- Uma subsequência é uma sequência da forma
onde é uma sequência estritamente crescente de índices naturais. - Dizemos que
converge para um número se, para todo , existe tal que, para todo ,
Vou usar essa definição para caracterizar quais subsequências convergem.
Passo 3
Primeira observação simples sobre possíveis limites: qualquer termo
vale sempre
ou
. Logo, se uma subsequência
converge, seu limite
só pode estar “próximo” de valores que a subsequência assume. Em particular, mostrarei que só podem ocorrer
ou
.
Prova informal: suponha que
converge para algum
. Se
fosse diferente de
e de
, escolha
. Então, por convergência, existe
tal que para todo
tem-se
. Mas os únicos valores possíveis de
são
e
; nenhum deles pode ficar a menos de
de
se
não for
nem
. Contradição. Portanto
.
Passo 4
Agora mostro que uma subsequência que contenha infinitamente muitos termos iguais a
e também infinitamente muitos termos iguais a
não pode convergir. Essa é a parte crucial.
Se
tem infinitos
e infinitos
, então para qualquer
existem índices
tais que
e também existem índices
tais que
. Suponha, buscando contradição, que a subsequência converge para
. Tome
. Por convergência, existe
tal que para todo
temos
. Mas então todos os termos com
estariam dentro do intervalo
, isto é, todos iguais (pois os únicos valores possíveis são
e
). Isso contradiz a hipótese de que há infinitos
e infinitos
após qualquer ponto. Logo, tal subsequência não converge.
Passo 5
Da discussão anterior segue que toda subsequência convergente não pode ter infinitas ocorrências de ambos os valores; portanto, toda subsequência convergente deve ser “eventualmente constante”: existe
tal que, para todo
,
toma um único valor, ou seja, ou
- para todo
temos , ou - para todo
temos .
Em termos dos índices
, isso significa:
- limite
: existe tal que é ímpar para todo ; - limite
: existe tal que é par para todo .
Essa condição é também necessária: se a subsequência é eventualmente constante com valor
(resp.
), então o limite tem de ser
(resp.
).
Passo 6
Verificação direta da suficiência (pequena “aula” de prova
-
aplicada ao caso):
Se existe tal que
para todo
, então para qualquer
, escolhendo esse
temos, para todo
,
Se existe
logo
converge para
. Análogo para
. Portanto a condição de ser eventualmente constante é suficiente para garantir convergência, e o limite é exatamente o valor constante.
Passo 7
Conclusão prática e exemplos para fixar a ideia:
- Todas as subsequências convergentes com limite
são exatamente aquelas cujos índices são “eventualmente ímpares” (ou seja, a partir de algum posto todos os são ímpares). Exemplos: a subsequência formada por todos os termos de índice ímpar é convergente para ; também a subsequência converge para porque, tirando o primeiro termo , todos os demais são de índices ímpares. - Todas as subsequências convergentes com limite
são exatamente aquelas cujos índices são “eventualmente pares”. Exemplo: converge para ; também converge para porque a partir do segundo termo os índices são todos pares.
Há infinitas subsequências convergentes porque se pode escolher arbitrariamente um prefixo finito qualquer e depois tomar todos os índices a partir de certo ponto ímpares (para limite
) ou pares (para limite
); cada escolha de prefixo gera uma subsequência diferente que ainda converge.
Passo 8
Resumo final claro: convergência só para os limites
e
; e a caracterização completa das subsequências convergentes é que elas sejam eventualmente constantes igual a
ou eventualmente constantes igual a
.
Resposta
As subsequências convergentes são exatamente as subsequências
tais que existe
com
para todo
(essas têm limite
), e as subsequências
tais que existe
com
para todo
(essas têm limite
).