Find all convergent subsequences of the sequence 1,-1,1,-1,1,-1, … . (There are infinitely many, although there are only two limits which such subsequences can have.)

Passo 1

O enunciado pede: “Achar todas as subsequências convergentes” da sequência 1,-1,1,-1,1,-1,\dots. Informações úteis fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência original alterna entre 1 e -1.
  • Para todo n\ge1 vale que o termo de ordem n é
a_n = (-1)^{n+1},
ou seja, a_n=1 quando n é ímpar e a_n=-1 quando n é par.
  • O problema afirma que existem infinitas subsequências convergentes, mas apenas dois possíveis limites. A tarefa é descrever todas essas subsequências convergentes.

Passo 2

Lembrando a definição de subsequência e de convergência, de forma bem concreta:
  • Uma subsequência é uma sequência da forma (a_{n_k})_{k=1}^\infty onde (n_k)_{k=1}^\infty é uma sequência estritamente crescente de índices naturais.
  • Dizemos que (a_{n_k}) converge para um número L se, para todo \varepsilon>0, existe K tal que, para todo k\ge K,
|a_{n_k}-L|<\varepsilon.
Vou usar essa definição para caracterizar quais subsequências convergem.

Passo 3

Primeira observação simples sobre possíveis limites: qualquer termo a_{n_k} vale sempre 1 ou -1. Logo, se uma subsequência (a_{n_k}) converge, seu limite L só pode estar “próximo” de valores que a subsequência assume. Em particular, mostrarei que só podem ocorrer L=1 ou L=-1.
Prova informal: suponha que (a_{n_k}) converge para algum L. Se L fosse diferente de 1 e de -1, escolha \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Então, por convergência, existe K tal que para todo k\ge K tem-se |a_{n_k}-L|<\tfrac{1}{2}. Mas os únicos valores possíveis de a_{n_k} são 1 e -1; nenhum deles pode ficar a menos de \tfrac{1}{2} de L se L não for 1 nem -1. Contradição. Portanto L\in\{1,-1\}.

Passo 4

Agora mostro que uma subsequência que contenha infinitamente muitos termos iguais a 1 e também infinitamente muitos termos iguais a -1 não pode convergir. Essa é a parte crucial.
Se (a_{n_k}) tem infinitos 1 e infinitos -1, então para qualquer K existem índices k\ge K tais que a_{n_k}=1 e também existem índices k'\ge K tais que a_{n_{k'}}=-1. Suponha, buscando contradição, que a subsequência converge para L. Tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Por convergência, existe K tal que para todo k\ge K temos |a_{n_k}-L|<\tfrac{1}{2}. Mas então todos os termos com k\ge K estariam dentro do intervalo (L-\tfrac12,L+\tfrac12), isto é, todos iguais (pois os únicos valores possíveis são 1 e -1). Isso contradiz a hipótese de que há infinitos 1 e infinitos -1 após qualquer ponto. Logo, tal subsequência não converge.

Passo 5

Da discussão anterior segue que toda subsequência convergente não pode ter infinitas ocorrências de ambos os valores; portanto, toda subsequência convergente deve ser “eventualmente constante”: existe K tal que, para todo k\ge K, a_{n_k} toma um único valor, ou seja, ou
  • para todo k\ge K temos a_{n_k}=1, ou
  • para todo k\ge K temos a_{n_k}=-1.
Em termos dos índices n_k, isso significa:
  • limite 1: existe K tal que n_k é ímpar para todo k\ge K;
  • limite -1: existe K tal que n_k é par para todo k\ge K.
Essa condição é também necessária: se a subsequência é eventualmente constante com valor 1 (resp. -1), então o limite tem de ser 1 (resp. -1).

Passo 6

Verificação direta da suficiência (pequena “aula” de prova \varepsilon- N aplicada ao caso):
Se existe K tal que a_{n_k}=1 para todo k\ge K, então para qualquer \varepsilon>0, escolhendo esse K temos, para todo k\ge K,
|a_{n_k}-1|=|1-1|=0<\varepsilon,
logo (a_{n_k}) converge para 1. Análogo para -1. Portanto a condição de ser eventualmente constante é suficiente para garantir convergência, e o limite é exatamente o valor constante.

Passo 7

Conclusão prática e exemplos para fixar a ideia:
  • Todas as subsequências convergentes com limite 1 são exatamente aquelas cujos índices n_k são “eventualmente ímpares” (ou seja, a partir de algum posto K todos os n_k são ímpares). Exemplos: a subsequência formada por todos os termos de índice ímpar (a_1,a_3,a_5,\dots) é convergente para 1; também a subsequência (a_2,a_5,a_7,a_9,\dots) converge para 1 porque, tirando o primeiro termo a_2=-1, todos os demais são de índices ímpares.
  • Todas as subsequências convergentes com limite -1 são exatamente aquelas cujos índices n_k são “eventualmente pares”. Exemplo: (a_2,a_4,a_6,\dots) converge para -1; também (a_1,a_4,a_6,a_8,\dots) converge para -1 porque a partir do segundo termo os índices são todos pares.
Há infinitas subsequências convergentes porque se pode escolher arbitrariamente um prefixo finito qualquer e depois tomar todos os índices a partir de certo ponto ímpares (para limite 1) ou pares (para limite -1); cada escolha de prefixo gera uma subsequência diferente que ainda converge.

Passo 8

Resumo final claro: convergência só para os limites 1 e -1; e a caracterização completa das subsequências convergentes é que elas sejam eventualmente constantes igual a 1 ou eventualmente constantes igual a -1.

Resposta

As subsequências convergentes são exatamente as subsequências (a_{n_k}) tais que existe K com a_{n_k}=1 para todo k\ge K (essas têm limite 1), e as subsequências (a_{n_k}) tais que existe K com a_{n_k}=-1 para todo k\ge K (essas têm limite -1).

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