Is the following system completely state controllable and completely observable?
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -6 & -11 & -6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{lll} 20 & 9 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\dot x = A x + B u,\quad y = C x
com
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}20 & 9 & 1\end{pmatrix}.
Queremos verificar se o sistema é completamente controlável e completamente observável. Para isso usamos o critério de Kalman:
  • o sistema é completamente controlável se a matriz
    \displaystyle\mathcal{C} = \bigl[\,B\;\;A B\;\;A^2B\bigr]
    tem posto 3;
  • o sistema é completamente observável se a matriz
    \displaystyle\mathcal{O} = \begin{pmatrix}C\C A\C A^2\end{pmatrix}
    tem posto 3.

Passo 2

Vamos montar a matriz de controlabilidade. Primeiro calculamos
A B = A\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -6\end{pmatrix}, \quad A^2 B = A\bigl(A B\bigr) = A\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ -6\\\ 25\end{pmatrix}.
Logo
\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -6\\\\ 1 & -6 & 25 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de \mathcal{C}:
\det(\mathcal{C}) = \det\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -6\\\\ 1 & -6 & 25 \end{pmatrix} = -1 \neq 0.
Como \det(\mathcal{C})\neq 0, temos \operatorname{rank}(\mathcal{C})=3 e o sistema é completamente controlável.

Passo 4

Agora a matriz de observabilidade. Primeiro
C A = \begin{pmatrix}20 & 9 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 & 9 & 3\end{pmatrix},
C A^2 = \bigl(CA\bigr)\,A = \begin{pmatrix}-6 & 9 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ -6 & -11 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 & -39 & -9\end{pmatrix}.
Logo
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} 20 & 9 & 1\\\\ -6 & 9 & 3\\\\ -18 & -39 & -9 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos o determinante de \mathcal{O}:
\det(\mathcal{O}) = 144 \neq 0.
Como \det(\mathcal{O})\neq 0, temos \operatorname{rank}(\mathcal{O})=3 e o sistema é completamente observável.

Resposta

O sistema é completamente controlável e completamente observável.

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