Consider the system given by
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} u_{1} \\\ u_{2} \end{array}\right]} \\\ & {\left[\begin{array}{l} y_{1} \\\ y_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]} \end{aligned}
Is the system completely state controllable and completely observable? Is the system completely output controllable?

Passo 1

O enunciado dá o sistema de estado
\dot x = A\,x + B\,u,\qquad y = C\,x
com
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\\\ 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Precisamos verificar (i) se o sistema é completamente controlável em estado, (ii) completamente observável e (iii) completamente controlável em saída. Para isso vamos usar as matrizes de controlabilidade \mathcal{C}=[B\;\,AB\;\,A^2B], de observabilidade \mathcal{O}=\bigl[C^\top,\,(CA)^\top,\,(CA^2)^\top\bigr]^\top e a matriz de alcance de saída \bigl[C B\;\;C A B\;\dots\bigr].

Passo 2

Calculemos primeiro a controlabilidade de estado. Escrevemos as colunas de B como
b_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad b_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
e depois
A\,b_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\quad A\,b_2 = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad A^2b_1 = A\,(A\,b_1)=\begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 9\end{pmatrix},\quad A^2b_2 = \begin{pmatrix}4\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Assim a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C} = \bigl[b_1\;\;b_2\;\;A b_1\;\;A b_2\;\;A^2b_1\;\;A^2b_2\bigr] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 4\\\\ 1 & 0 & 2 & 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 1 & 9 & 1 \end{pmatrix}.
Verifica-se que \text{rank}(\mathcal{C})=3, igual à dimensão do espaço de estado. Logo é completamente controlável em estado.

Passo 3

Para a observabilidade montamos
C = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix},\quad C A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 0\\\ 0 & 2 & 0\end{pmatrix},\quad C A^2 = \begin{pmatrix}4 & 0 & 0\\\ 0 & 4 & 0\end{pmatrix}.
Então
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\[6pt] C A \\[6pt] C A^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 4 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}.
Como \text{rank}(\mathcal{O})=2<3, o sistema não é completamente observável.]

Passo 4

Para a controlabilidade de saída consideramos
C\,B = \begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix},\quad C\,A\,B = \begin{pmatrix}0&2\\\ 2&0\end{pmatrix}.
Formamos a matriz de alcance de saída parcial
\bigl[C B\;\;C A B\bigr] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Aqui \text{rank}([\,C B\;\;C A B])=2, que é o número de saídas. Logo o sistema é completamente controlável em saída.

Resposta

O sistema é completamente controlável em estado, não é completamente observável e é completamente controlável em saída.

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