Except for an obvious choice of c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, find an example of a set of c_{1}, c_{2}, c_{3} that will make the system unobservable.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
\dot x = A x + B u,\quad y = C x
com
A = \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&1\\\ -6&-11&-6\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}.
Queremos escolher um C\neq0 de modo que (A,C) seja não observável. Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre se existir um vetor próprio v\neq0 de A tal que
A\,v=\lambda\,v
e simultaneamente
C\,v=0.
Passo 2
Determinamos os autovalores de A calculando o polinômio característico
\det(sI - A)=s^{3}+6s^{2}+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3),
logo \lambda=-1,-2,-3.
Passo 3
Escolhemos \lambda=-1\) e achamos um vetor próprio \(v\) satisfazendo \((A+I)v=0\). Escrevendo \(v=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}\), temos
\[\bigl(A+I\bigr)v =\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&1\\\ -6&-11&-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} =0