Consider the system defined by
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -6 & -11 & -6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{lll} c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] \end{aligned}
Except for an obvious choice of c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, find an example of a set of c_{1}, c_{2}, c_{3} that will make the system unobservable.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\dot x = A x + B u,\quad y = C x
com
A = \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&0&1\\\ -6&-11&-6\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}.
Queremos escolher um C\neq0 de modo que (A,C) seja não observável. Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre se existir um vetor próprio v\neq0 de A tal que
A\,v=\lambda\,v
e simultaneamente
C\,v=0.

Passo 2

Determinamos os autovalores de A calculando o polinômio característico
\det(sI - A)=s^{3}+6s^{2}+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3),
logo \lambda=-1,-2,-3.

Passo 3

Escolhemos \lambda=-1\) e achamos um vetor próprio \(v\) satisfazendo \((A+I)v=0\). Escrevendo \(v=(v_{1},v_{2},v_{3})^{T}\), temos \[\bigl(A+I\bigr)v =\begin{pmatrix}1&1&0\\\ 0&1&1\\\ -6&-11&-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{pmatrix} =0
que dá o sistema
\begin{cases} v_{1}+v_{2}=0,\\\ v_{2}+v_{3}=0, \end{cases}
de onde v_{1}=-v_{2}\] e \(v_{3}=-v_{2}. Podemos tomar por exemplo
v=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 4

Para que esse modo \lambda=-1 seja não observável, precisamos de
C\,v=0 \;\Longrightarrow\; \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr) \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} =-c_{1}+c_{2}-c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; c_{2}=c_{1}+c_{3}.

Passo 5

Escolhemos uma solução simples não nula para (c_{1},c_{2},c_{3}). Por exemplo, fixamos
c_{1}=1,\quad c_{3}=0 \;\Longrightarrow\; c_{2}=1+0=1.

Resposta

Um exemplo de vetor C que torna o sistema não observável é
c_{1}=1,\quad c_{2}=1,\quad c_{3}=0.

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