Encontrar a função de controle ótimo
, aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin:
1.
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Passo 1
O enunciado trata de um problema de controle ótimo em tempo fixo
. O sistema é
e o funcional a ser minimizado é
O método a usar é o Princípio do Máximo de Pontryagin, que envolve formular o Hamiltoniano, escrever a equação do custo adjunto (coestado), aplicar a condição de otimalidade (estacionaridade em
) e a condição de contorno para o coestado.
Passo 2
Definimos o Hamiltoniano padrão como
onde
vem do integrando do custo e
é o coestado.
Passo 3
Escrevemos a equação do coestado:
Logo,
é constante em todo o intervalo
.
Passo 4
A condição de otimalidade exige que, para cada
,
Dessa igualdade segue
Passo 5
Falta determinar o valor da constante
. Como há custo terminal
, a condição de contorno no tempo final é
Como
é constante, temos
. Substituindo na fórmula de
,
Passo 6
Por consistência, podemos integrar o estado:
Em particular,
, mas o que nos interessa é o controle.
Resposta
A função de controle ótimo é