Encontrar a função de controle ótimo u, aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin:
1.
\begin{array}{ll}\text { O sistema controlado: } & \dot{x}=u ; \\\ \text { condição inicial: } & x(0)=0 ; \\\ \text { funcional minimizando: } & J=x(1)+\int_{0}^{1} u^{2} d t .\end{array}çã

Passo 1

O enunciado trata de um problema de controle ótimo em tempo fixo T=1. O sistema é
\dot{x}(t)=u(t),\quad x(0)=0,
e o funcional a ser minimizado é
J = x(1) + \int_{0}^{1}u(t)^{2}\,dt.
O método a usar é o Princípio do Máximo de Pontryagin, que envolve formular o Hamiltoniano, escrever a equação do custo adjunto (coestado), aplicar a condição de otimalidade (estacionaridade em u) e a condição de contorno para o coestado.

Passo 2

Definimos o Hamiltoniano padrão como
H(x,u,\lambda) = u^{2} + \lambda\,u,
onde u^{2} vem do integrando do custo e \lambda(t) é o coestado.

Passo 3

Escrevemos a equação do coestado:
\dot{\lambda}(t) = -\frac{\partial H}{\partial x} = 0.
Logo, \lambda(t) é constante em todo o intervalo [0,1].

Passo 4

A condição de otimalidade exige que, para cada t,
\frac{\partial H}{\partial u} = 2\,u + \lambda = 0.
Dessa igualdade segue
u(t) = -\frac{\lambda}{2}.

Passo 5

Falta determinar o valor da constante \lambda. Como há custo terminal \varphi(x(1))=x(1), a condição de contorno no tempo final é
\lambda(1) = \varphi'\bigl(x(1)\bigr) = 1.
Como \lambda(t) é constante, temos \lambda(t)\equiv1. Substituindo na fórmula de u,
u(t) = -\frac{1}{2}.

Passo 6

Por consistência, podemos integrar o estado:
\dot{x}(t) = -\tfrac12,\quad x(0)=0 \quad\Longrightarrow\quad x(t) = -\tfrac{t}{2}.
Em particular, x(1)=-\tfrac12, mas o que nos interessa é o controle.

Resposta

A função de controle ótimo é
u^{*}(t) = -\tfrac12,\quad 0\le t\le1.

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