Considere que \frac{G^{E}}{R T}=A x_{1} x_{2} é o modelo para a energia livre de Gibbs em excesso ( \mathrm{G}^{\mathrm{E}} ) para uma fase líquida binária, sendo R a constante universal dos gases, T, a temperatura, e \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2}, as frações molares das espécies químicas 1 e 2 . Para se obter o equilíbrio líquido-líquido, qual deve ser o parâmetro A ?
(A) A=0
(B) 0<A<1
(C) 1 \leq A<1,5
(D) 1,5 \leq A<2
(E) A \geq 2

Passo 1

O enunciado dá o modelo de solução regular para a energia livre de Gibbs em excesso por mol dividido por RT:
\frac{G^{E}}{RT} = A\,x_{1}x_{2},
onde x_{1} e x_{2} são as frações molares. Queremos a condição para ocorrer separação de fases líquido–líquido, isto é, quando a curva de energia livre de mistura torna-se côncava em torno de x_{1}=x_{2}=0{,}5. Para isso, usamos o critério de spinodal: a segunda derivada de \Delta g_{\text{mix}} em relação a x_{1} deve ser zero no ponto crítico.

Passo 2

Escrevemos a energia livre de mistura por mol dividida por RT:
\frac{\Delta g_{\text{mix}}}{RT} = x_{1}\ln x_{1} + x_{2}\ln x_{2} + A\,x_{1}x_{2}.
Aqui o primeiro termo é a contribuição ideal e o segundo é o excesso dado pelo modelo.

Passo 3

Aplicamos o critério de spinodal, que exige
\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\Bigl(\tfrac{\Delta g_{\text{mix}}}{RT}\Bigr)=0
no ponto crítico. Calculando a segunda derivada:
\frac{\partial^{2}}{\partial x_{1}^{2}}\Bigl(\tfrac{\Delta g_{\text{mix}}}{RT}\Bigr) = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} \;-\; 2A.

Passo 4

No ponto equimolar \,x_{1}=x_{2}=0{,}5, temos
\frac{1}{0{,}5} + \frac{1}{0{,}5} - 2A = 2 + 2 - 2A = 4 - 2A.
Para spinodal crítico, igualamos a zero:
4 - 2A = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = 2.

Passo 5

Para haver divisão de fases (mistura instável) precisamos que a segunda derivada seja negativa, ou seja,
4 - 2A < 0 \quad\Longrightarrow\quad A > 2.
O valor crítico exato é A=2 e, para A>2, ocorre equilíbrio líquido–líquido.

Resposta

(E) A \geq 2

Exercícios relacionados