Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=10 against H_{1}: \sigma^{2}>10. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.05 and n=12

Passo 1

O enunciado pede os valores críticos para o teste de
H_{0}:\sigma^{2}=10\quad\text{versus}\quad H_{1}:\sigma^{2}>10
com nível de significância \alpha=0,05 e tamanho de amostra n=12.\n
Informações dadas:
\alpha=0,05,\qquad n=12,\qquad \sigma_{0}^{2}=10.
A pergunta é: qual é o (ou os) valor(es) crítico(s) do estatístico \chi_{0}^{2} que definem a região crítica do teste para esses dados?

Passo 2

Definimos o estatístico de teste (isso é padrão para testar variância):
\chi_{0}^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}},
onde S^{2} é a variância amostral (aquela que você calcula a partir dos dados) e \sigma_{0}^{2} é o valor hipotético da variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=10).\n
Explicando com calma:
  • (n-1) é o número de graus de liberdade quando usamos S^{2} (porque perdemos 1 grau de liberdade ao estimar a média amostral).
  • Sob H_{0}, esse \chi_{0}^{2} segue uma distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade, ou seja
\chi_{0}^{2}\sim \chi^{2}_{\,n-1}\quad\text{se }H_{0}\text{ for verdadeira.}

Passo 3

Como a hipótese alternativa é \sigma^{2}>\sigma_{0}^{2}, temos um teste unilateral à direita: rejeitamos H_{0} quando \chi_{0}^{2} é grande demais. Portanto a região crítica é
\{\chi_{0}^{2}>\chi^{2}_{1-\alpha,\;n-1}\},
onde \chi^{2}_{1-\alpha,\;n-1} é o quantil de ordem 1-\alpha da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Agora aplicamos os números: com n=12 temos n-1=11 graus de liberdade. Com \alpha=0,05 precisamos do quantil de nível 1-\alpha=0,95 da \chi^{2} com 11 graus de liberdade, ou seja \chi^{2}_{0,95,\;11}.\n
Consultando uma tabela de qui‑quadrado ou usando calculadora estatística/funcão inversa (por exemplo função quantil \text{qchisq}(0{,}95,11) em R), obtemos o valor aproximado
\chi^{2}_{0,95,\;11}\approx 19,675.
(Usei tabela/funcão padrão de chi‑quadrado; o valor costuma ser dado como 19{,}675 arredondado a três casas decimais.)

Passo 5

Portanto a regra de decisão do teste é:
\text{Rejeitar }H_{0}\quad\text{se}\quad \chi_{0}^{2}>\;19{,}675.
Isso significa que, ao calcular \chi_{0}^{2}=\dfrac{11\,S^{2}}{10} a partir da sua amostra, você compara com 19{,}675; se for maior, conclui que há evidência (ao nível 5\%) de que \sigma^{2}>10.

Resposta

Valor crítico: \chi^{2}_{0,95,\;11}=19{,}675.\n
Regra de decisão: rejeitar H_{0} se \chi_{0}^{2}>19{,}675.

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