Consider the test of H_{0}: \sigma^{2}=7 against H_{1}: \sigma^{2} \neq 7. What are the critical values for the test statistic \chi_{0}^{2} for the following significance levels and sample sizes?
\alpha=0.01 and n=20

Passo 1

O enunciado pede os valores críticos do teste de hipótese bilateral
H_{0}: \sigma^{2}=7 \quad\text{vs}\quad H_{1}: \sigma^{2}\neq 7
para o nível de significância \alpha=0,01 e amostra com n=20.
Informações dadas e o que devemos devolver:
  • Nível de significância: \alpha=0,01.
  • Tamanho da amostra: n=20.
  • Tipo de teste: bilateral (duas caudas).
  • Devemos fornecer os valores críticos para a estatística de teste \chi_{0}^{2} que determinam a região de rejeição.

Passo 2

Definição da estatística de teste e distribuição sob H_{0}.
Quando testamos variância com amostra de tamanho n, a estatística
\chi_{0}^{2}=\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma_{0}^{2}}
segue, sob H_{0}, a distribuição qui‑quadrado com n-1 graus de liberdade.
Explicando cada símbolo:
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=20).
  • S^{2} é a variância amostral (não precisamos do seu valor para achar os críticos).
  • \sigma_{0}^{2} é o valor hipotetizado da variância sob H_{0} (aqui \sigma_{0}^{2}=7).
  • \chi_{0}^{2} tem distribuição \chi^{2}_{\nu} com \nu=n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Como é teste bilateral, dividimos o nível \alpha igualmente entre as duas caudas.
Portanto cada cauda terá probabilidade \alpha/2:
\alpha/2 = 0,01/2 = 0,005.
A região de rejeição é
\left\{ \chi_{0}^{2} < \chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1} \right\}\\ \cup\\ \left\{ \chi_{0}^{2} > \chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1} \right\}.
Ou seja, rejeitamos H_{0} se \chi_{0}^{2} for menor que o quantil de ordem 0,005 ou maior que o quantil de ordem 0,995 da distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade.

Passo 4

Calcular os graus de liberdade:
\nu = n-1 = 20-1 = 19.
Logo precisamos de \chi^{2}_{0,005,\;19} (quantil inferior) e de \chi^{2}_{0,995,\;19} (quantil superior).

Passo 5

Como obter os quantis da qui‑quadrado: normalmente lemos em tabela de \chi^{2} ou usamos software. Aqui vou mostrar uma aproximação numérica prática (método de Wilson–Hilferty), que dá valores muito próximos aos de tabela e é calculável à mão com passos simples.
A transformação de Wilson–Hilferty aproxima o quantil \chi^{2}_{p,\;k} por
\chi^{2}_{p,\;k} \approx k\left(1-\frac{2}{9k}+ z_{p}\sqrt{\frac{2}{9k}}\right)^{3},
onde k é o número de graus de liberdade e z_{p} é o quantil p da Normal padrão.

Passo 6

Aplicar a aproximação para k=19.
Primeiro calculamos constantes fixas:
\frac{2}{9k}=\frac{2}{9\cdot19}=\frac{2}{171}\approx 0,011695,
\sqrt{\frac{2}{9k}}=\sqrt{0,011695}\approx 0,10815.
Agora os z-quantis:
z_{0,995}\approx 2,5758,\qquad z_{0,005}\approx -2,5758.
Calcular o quantil superior p=0,995:
A_{+}=1-\frac{2}{9k}+z_{0,995}\sqrt{\frac{2}{9k}} =1-0,011695+2,5758\cdot0,10815\approx 1,26699.
Elevar ao cubo:
A_{+}^{3}\approx 1,26699^{3}\approx 2,034.
Multiplicar por k:
\chi^{2}_{0,995,\;19}\approx 19\cdot 2,034\approx 38,645.
Calcular o quantil inferior p=0,005:
A_{-}=1-\frac{2}{9k}+z_{0,005}\sqrt{\frac{2}{9k}} =1-0,011695-2,5758\cdot0,10815\approx 0,70962.
Elevar ao cubo:
A_{-}^{3}\approx 0,70962^{3}\approx 0,3573.
Multiplicar por k:
\chi^{2}_{0,005,\;19}\approx 19\cdot 0,3573\approx 6,788.
Esses valores são aproximações numéricas muito próximas aos valores de tabela para \nu=19.

Passo 7

Conclusão sobre a regra de decisão: com \alpha=0,01 e n=20 (portanto \nu=19), os valores críticos aproximados são
\chi^{2}_{0,005,\;19}\approx 6,788\quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0,995,\;19}\approx 38,645.
Regra de rejeição: rejeitar H_{0} se
\chi_{0}^{2} < 6,788 \quad\text{ou}\quad \chi_{0}^{2} > 38,645.

Resposta

Rejeitar H_{0} se \chi_{0}^{2} < 6,788 ou \chi_{0}^{2} > 38,645.

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