Consider the test of
against
. What are the critical values for the test statistic
for the following significance levels and sample sizes?
and
Passo 1
O enunciado pede os valores críticos do teste de hipótese bilateral
para o nível de significância
e amostra com
.
Informações dadas e o que devemos devolver:
Informações dadas e o que devemos devolver:
- Nível de significância:
. - Tamanho da amostra:
. - Tipo de teste: bilateral (duas caudas).
- Devemos fornecer os valores críticos para a estatística de teste
que determinam a região de rejeição.
Passo 2
Definição da estatística de teste e distribuição sob
.
Quando testamos variância com amostra de tamanho , a estatística
Quando testamos variância com amostra de tamanho
segue, sob
, a distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade.
Explicando cada símbolo:
Explicando cada símbolo:
-
é o tamanho da amostra (aqui ). -
é a variância amostral (não precisamos do seu valor para achar os críticos). -
é o valor hipotetizado da variância sob (aqui ). -
tem distribuição com graus de liberdade.
Passo 3
Como é teste bilateral, dividimos o nível
igualmente entre as duas caudas.
Portanto cada cauda terá probabilidade :
Portanto cada cauda terá probabilidade
A região de rejeição é
Ou seja, rejeitamos
se
for menor que o quantil de ordem
ou maior que o quantil de ordem
da distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 4
Calcular os graus de liberdade:
Logo precisamos de
(quantil inferior) e de
(quantil superior).
Passo 5
Como obter os quantis da qui‑quadrado: normalmente lemos em tabela de
ou usamos software. Aqui vou mostrar uma aproximação numérica prática (método de Wilson–Hilferty), que dá valores muito próximos aos de tabela e é calculável à mão com passos simples.
A transformação de Wilson–Hilferty aproxima o quantil
por
onde
é o número de graus de liberdade e
é o quantil
da Normal padrão.
Passo 6
Aplicar a aproximação para
.
Primeiro calculamos constantes fixas:
Agora os
-quantis:
Calcular o quantil superior
:
Elevar ao cubo:
Multiplicar por
:
Calcular o quantil inferior
:
Elevar ao cubo:
Multiplicar por
:
Esses valores são aproximações numéricas muito próximas aos valores de tabela para
.
Passo 7
Conclusão sobre a regra de decisão: com
e
(portanto
), os valores críticos aproximados são
Regra de rejeição: rejeitar
se
Resposta
Rejeitar
se
ou
.