\boldsymbol{-} The standard deviation of critical dimension thickness in semiconductor manufacturing is \sigma=20 \mathrm{~nm}.
(a) State the null and alternative hypotheses used to demonstrate that the standard deviation is reduced.

Passo 1

O enunciado dá que a desviância padrão (desvio padrão) padrão é \sigma=20\\ \mathrm{nm} e pede que a gente formule as hipóteses nula e alternativa para “demonstrar que o desvio padrão foi reduzido”.
Informações relevantes:
  • Valor de referência: \sigma=20\\ \mathrm{nm}.
  • Objetivo: mostrar redução do desvio padrão (ou seja, testar se o desvio atual é menor que 20\\ \mathrm{nm}).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos lembrar a ideia básica de testes de hipótese (rápido e amigável):
  • A hipótese nula H_0 normalmente contém a igualdade (é o caso “sem efeito” ou “sem mudança”) — é o que assumimos inicialmente.
  • A hipótese alternativa H_a é a afirmação que queremos demonstrar com evidência amostral. Aqui queremos demonstrar uma redução, então H_a será uma desigualdade do tipo “menor que”.
    Não avançamos ainda em cálculos — só definimos o que cada hipótese deve representar.

Passo 3

Importante: em testes de variância/dispensão costuma-se trabalhar com a variância \sigma^2 porque as fórmulas estatísticas (p.ex. estatística \chi^2) usam \sigma^2.
Se \sigma=20\\ \mathrm{nm}, então a variância de referência é
\sigma^2 = 20^2 = 400\\ \mathrm{nm}^2.
Posso expressar as hipóteses tanto em termos de \sigma quanto em termos de \sigma^2; ambas são equivalentes logicamente, mas para fazer o teste prático normalmente uso a forma em \sigma^2.

Passo 4

Construindo as hipóteses conforme a convenção (igualdade na nula, desigualdade que representa a redução na alternativa):
  • Em termos de \sigma:
H_0: \sigma = 20\\ \mathrm{nm}
H_a: \sigma < 20\\ \mathrm{nm}
  • Em termos de \sigma^2 (forma usada em testes de variância):
H_0: \sigma^2 = 400\\ \mathrm{nm}^2
H_a: \sigma^2 < 400\\ \mathrm{nm}^2

Passo 5

Explicando rapidamente o tipo de teste: como a alternativa é do tipo “menor que”, trata-se de um teste unilateral à esquerda (left-tailed). Na prática, ao coletar uma amostra e calcular a estatística de teste (normalmente baseada em \chi^2 para variância), procuramos evidência suficiente para rejeitar H_0 em favor de H_a quando a estatística cair na cauda esquerda além do valor crítico (ou quando o p-valor for menor que o nível de significância).

Passo 6

Resumo prático — como usar isso na prova: escreva claramente as hipóteses (qualquer uma das duas formas acima é aceita), mencione que é um teste unilateral à esquerda, e proceda com a estatística de teste para variância (se pedirem cálculo, use a estatística \chi^2 = (n-1)S^2/\sigma_0^2 onde S^2 é a variância amostral e \sigma_0^2 é 400\\ \mathrm{nm}^2).
Você está indo bem — já tem a forma correta das hipóteses e sabe o tipo de teste que vai aplicar.

Resposta

H_0:\\ \sigma = 20\\ \mathrm{nm} \
H_a:\\ \sigma < 20\\ \mathrm{nm}

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