Consider the two functions f(x)=x^{3} and g(x)=x^{2}|x| on the interval [-1,1].
(a) Show that their Wronskian W(f, g) vanishes identically.
(b) Show that f and g are not linearly dependent.
(c) Do (a) and (b) contradict Lemma 2? If not, why not?
Passo 1
O enunciado dá as funções
f(x)=x^{3}, \quad g(x)=x^{2}\,\lvert x\rvert
no intervalo [-1,1]
e pede:
(a) mostrar que o wronskiano W(f,g) é identicamente zero;
(b) mostrar que f e g não são linearmente dependentes;
(c) discutir se isso contraria o Lema 2.
Vamos usar definição de wronskiano e critério de dependência linear em espaços de funções.
Passo 2
Para x\neq0 escrevemos \lvert x\rvert=\operatorname{sgn}(x)\,x, logo
só admite \alpha=\beta=0\]. Portanto não há combinação não trivial e \(f,g não são linearmente dependentes.
Passo 4
O Lema 2 afirma que, para soluções de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, o wronskiano nulo implica dependência linear. Aqui f e g NÃO são soluções de nenhuma EDO linear homogênea com coeficientes contínuos em todo [-1,1] (por exemplo, g'' não é contínua em 0). Logo as hipóteses do lema não se aplicam e não há contradição.
Resposta
(a) W(f,g)(x)\equiv0.
(b) f e g não são linearmente dependentes.
(c) Não há contradição, pois o Lema 2 exige que f e g sejam soluções de uma EDO linear homogênea com coeficientes contínuos, hipótese que falha aqui.