Consider the two functions f(x)=x^{3} and g(x)=x^{2}|x| on the interval [-1,1].
(a) Show that their Wronskian W(f, g) vanishes identically.
(b) Show that f and g are not linearly dependent.
(c) Do (a) and (b) contradict Lemma 2? If not, why not?

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=x^{3}, \quad g(x)=x^{2}\,\lvert x\rvert
no intervalo [-1,1]
e pede:
(a) mostrar que o wronskiano W(f,g) é identicamente zero;
(b) mostrar que f e g não são linearmente dependentes;
(c) discutir se isso contraria o Lema 2.
Vamos usar definição de wronskiano e critério de dependência linear em espaços de funções.

Passo 2

Para x\neq0 escrevemos \lvert x\rvert=\operatorname{sgn}(x)\,x, logo
g(x)=x^{2}\lvert x\rvert = x^{2}\bigl(\operatorname{sgn}(x)\,x\bigr) =\operatorname{sgn}(x)\,x^{3}.
Então
f'(x)=3x^{2}, \quad g'(x)=3x^{2}\,\operatorname{sgn}(x).
O wronskiano é
W(f,g)(x) = \begin{vmatrix} f(x) & g(x)\\[6pt] f'(x)& g'(x) \end{vmatrix} = x^{3}\cdot\bigl(3x^{2}\operatorname{sgn}(x)\bigr) - \bigl(\operatorname{sgn}(x)\,x^{3}\bigr)\cdot(3x^{2}).
Como x^{3}\cdot x^{2}\operatorname{sgn}(x)=x^{5}\operatorname{sgn}(x) em ambos os termos, obtemos
W(f,g)(x)=3x^{5}\operatorname{sgn}(x)-3x^{5}\operatorname{sgn}(x)=0
para todo x\neq0. Em x=0 ambas as derivadas existem e valem zero, logo W(f,g)(0)=0. Concluímos que
W(f,g)(x)\equiv0\quad\text{em }[-1,1].]

Passo 3

Para verificar se há dependência linear, suponha que existam constantes \alpha,\beta\) tais que \[\alpha\,f(x)+\beta\,g(x)=0 \quad\forall x\in[-1,1].
Em x>0 temos g(x)=x^{3}=f(x), logo
(\alpha+\beta)\,x^{3}=0\quad\forall x>0 \implies \alpha+\beta=0.
Em x<0 temos g(x)=-x^{3}=-f(x), logo
(\alpha-\beta)\,x^{3}=0\quad\forall x<0 \implies \alpha-\beta=0.
O sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=0,\\\ \alpha-\beta=0 \end{cases}
só admite \alpha=\beta=0\]. Portanto não há combinação não trivial e \(f,g não são linearmente dependentes.

Passo 4

O Lema 2 afirma que, para soluções de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes contínuos, o wronskiano nulo implica dependência linear. Aqui f e g NÃO são soluções de nenhuma EDO linear homogênea com coeficientes contínuos em todo [-1,1] (por exemplo, g'' não é contínua em 0). Logo as hipóteses do lema não se aplicam e não há contradição.

Resposta

(a) W(f,g)(x)\equiv0.
(b) f e g não são linearmente dependentes.
(c) Não há contradição, pois o Lema 2 exige que f e g sejam soluções de uma EDO linear homogênea com coeficientes contínuos, hipótese que falha aqui.

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