Verifique se a funçāo dada é uma solução para a equação diférencial. ( c_{1} e c_{2} sāo constantes).
y^{\prime}=2 \sqrt{|y|} ; y=\Delta|x|

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos verificar se a função
y(x)=\Delta\,|x|
satisfaz a equação diferencial
y' = 2\sqrt{\lvert y\rvert}
onde \Delta é uma constante qualquer. Para isso usaremos regra da cadeia (derivada de \lvert x\rvert) e propriedades de valor absoluto e raiz.

Passo 2

Cálculo de y'. Para x\neq0 vale
\frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \operatorname{sgn}(x),
logo
y'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(\Delta\,|x|\bigr) =\Delta\;\frac{d}{dx}|x| =\Delta\,\operatorname{sgn}(x).

Passo 3

Cálculo do lado direito da ODE:
2\sqrt{\lvert y(x)\rvert} =2\sqrt{\lvert \Delta\,|x|\rvert} =2\sqrt{\lvert\Delta\rvert\;\lvert x\rvert} =2\sqrt{\lvert\Delta\rvert}\,\sqrt{\lvert x\rvert}.

Passo 4

Impondo igualdade
\Delta\,\operatorname{sgn}(x) \stackrel{?}{=} 2\sqrt{\lvert\Delta\rvert}\,\sqrt{\lvert x\rvert},
elevando ao quadrado (para eliminar sinal e raiz):
\Delta^2 =4\,\lvert\Delta\rvert\,\lvert x\rvert.
O lado esquerdo é constante (depende só de \Delta), mas o direito depende de \lvert x\rvert. Para que isso valha para todo x\neq0 teríamos de ter \lvert x\rvert constante ou \Delta=0. Como não podemos fixar \lvert x\rvert para todos os x, só resta \Delta=0.

Resposta

A função y(x)=\Delta\,|x| não satisfaz a equação diferencial exceto no caso trivial \Delta=0, em que y(x)\equiv0.

Exercícios relacionados