Considera a equação
4 x^2+y^2+4 x y+x-2 y=0
Faça a rotação lx=x1 2raiz5-y1 1raiz5 y=x1 1raiz5+y1 2raiz5 para identificar a cônica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação 4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0 e precisa aplicar uma rotação nas coordenadas para identificar que tipo de cônica essa equação representa. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo das cônicas e transformações de coordenadas. Vamos precisar usar fórmulas de rotação de eixos para eliminar o termo cruzado xy.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de x e y pelas novas coordenadas rotacionadas x1 e y1. As fórmulas da rotação são:
x = x1 cdot 2raiz5 - y1 cdot 1raiz5 y = x1 cdot 1raiz5 + y1 cdot 2raiz5
Vamos substituir essas expressões na equação original.

Passo 3

Vamos substituir x e y na equação:
4(x1 cdot 2raiz5 - y1 cdot 1raiz5)^2 + (x1 cdot 1raiz5 + y1 cdot 2raiz5)^2 + 4(x1 cdot 2raiz5 - y1 cdot 1raiz5)(x1 cdot 1raiz5 + y1 cdot 2raiz5) + (x1 cdot 2raiz5 - y1 cdot 1raiz5) - 2(x1 cdot 1raiz5 + y1 cdot 2raiz5) = 0

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo da equação:
  1. 4(2x1 - y1raiz5)^2 = 4 cdot (2x1 - y1)^25 = 4(4x1^2 - 4x1 y1 + y1^2)5 = 16x1^2 - 16x1 y1 + 4y1^25
  2. (x1 + 2y1raiz5)^2 = (x1 + 2y1)^25 = x1^2 + 4x1 y1 + 4y1^25
  3. 4 cdot (2x1 - y1raiz5)(x1 + 2y1raiz5) = 4 cdot (2x1 - y1)(x1 + 2y1)5 = 4(2x1^2 + 4x1 y1 - x1 y1 - 2y1^2)5 = 8x1^2 + 12x1 y1 - 8y1^25
  4. 2x1 - y1raiz5 = 2x1 - y1raiz5
  5. -2 cdot x1 + 2y1raiz5 = -2x1 - 4y1raiz5

Passo 5

Vamos agora juntar todos os termos expandidos:
16x1^2 - 16x1 y1 + 4y1^25 + x1^2 + 4x1 y1 + 4y1^25 + 8x1^2 + 12x1 y1 - 8y1^25 + 2x1 - y1raiz5 + -2x1 - 4y1raiz5 = 0
Combine os termos semelhantes:
16x1^2 + x1^2 + 8x1^25 + -16x1 y1 + 4x1 y1 + 12x1 y15 + 4y1^2 + 4y1^2 - 8y1^25 + 2x1 - 2x1raiz5 + -y1 - 4y1raiz5 = 0
Simplificando:
25x1^25 + 0x1 y15 + 0y1^25 + 0 + -5y1raiz5 = 0
5x1^2 - raiz5 y1 = 0

Passo 6

Agora, a equação simplificada na nova coordenada é 5x1^2 - raiz5 y1 = 0. Podemos rearrumar para deixar a equação na forma padrão:
5x1^2 = raiz5 y1 implies y1 = 5raiz5 x1^2 = raiz5 x1^2

Resposta

A equação após a rotação fica y1 = raiz5, x1^2, que representa uma parábola.

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