Considera a equação
4 x^2+y^2+4 x y+x-2 y=0
Calcule o discriminante De<a=B^2-4 A C. Qual cônica essa equação pode representar?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação quadrática:
4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0
E o que precisamos fazer aqui é calcular o discriminante De<a = B^2 - 4AC para depois descobrir que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as cônicas e como identificar cada uma delas usando os coeficientes da equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de uma equação de segundo grau no plano:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Nessa forma, os coeficientes A, B, e C são os que nos interessam para calcular o discriminante De<a. Na nossa equação:
4x^2 + y^2 + 4xy + x - 2y = 0
Podemos identificar que:
  • A = 4
  • B = 4
  • C = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante usando a fórmula:
De<a = B^2 - 4AC
Substituindo os valores que encontramos:
De<a = 4^2 - 4 times 4 times 1 = 16 - 16 = 0
Então, De<a = 0.

Passo 4

Com o valor do discriminante calculado, agora precisamos lembrar o que cada resultado de De<a indica sobre a cônica:
  • Se De<a > 0, a equação representa uma hipérbole.
  • Se De<a = 0, a equação representa uma parábola.
  • Se De<a < 0, a equação representa uma elipse (ou círculo, se A = C e B = 0).
No nosso caso, como De<a = 0, isso nos indica que a cônica representada pela equação dada é uma parábola.

Resposta

O discriminante De<a = 0 e, portanto, a equação representa uma parábola.

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