Esboce a hipérbole de equação
Para tanto, encontre os vértices, os focos e as assintotas. Dica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da hipérbole que tem a equação
Para isso, vamos encontrar três coisas importantes: os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole. Vamos usar algumas fórmulas básicas de geometria das hipérboles para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
na equação da hipérbole. A equação está na forma:
Comparando com a nossa equação:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole está na forma
, ela está aberta para cima e para baixo. Os vértices ficam a uma distância
do centro (que é a origem,
) ao longo do eixo
.
Então, os vértices são:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para isso, usamos a fórmula:
Já sabemos que
e
, então:
Como a hipérbole está aberta para cima e para baixo, os focos estarão também ao longo do eixo
, a uma distância
do centro.
Então, os focos são:
Passo 5
Por último, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando
e
tendem ao infinito. A fórmula para as assíntotas na forma
é:
Sabendo que
e
, temos:
Portanto, as assíntotas são:
Resposta
Então, resumindo:
- Vértices:
e - Focos:
e - Assíntotas:
e