Esboce a hipérbole de equação
y^28-x^210=1
Para tanto, encontre os vértices, os focos e as assintotas. Dica:
c^2=a^2+b^2 e y= pm ba x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da hipérbole que tem a equação
y^28 - x^210 = 1
Para isso, vamos encontrar três coisas importantes: os vértices, os focos e as assíntotas da hipérbole. Vamos usar algumas fórmulas básicas de geometria das hipérboles para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de a^2 e b^2 na equação da hipérbole. A equação está na forma:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
a^2 = 8 e b^2 = 10
Então, temos:
a = raiz8 = 2raiz2 e b = raiz10

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como a hipérbole está na forma y^2a^2 - x^2b^2 = 1, ela está aberta para cima e para baixo. Os vértices ficam a uma distância a do centro (que é a origem, (0,0)) ao longo do eixo y.
Então, os vértices são:
(0, a) e (0, -a)
Substituindo a = 2raiz2:
V1 = (0, 2raiz2) e V2 = (0, -2raiz2)

Passo 4

Agora, vamos encontrar os focos da hipérbole. Para isso, usamos a fórmula:
c^2 = a^2 + b^2
Já sabemos que a^2 = 8 e b^2 = 10, então:
c^2 = 8 + 10 = 18 Rightarrow c = raiz18 = 3raiz2
Como a hipérbole está aberta para cima e para baixo, os focos estarão também ao longo do eixo y, a uma distância c do centro.
Então, os focos são:
F1 = (0, 3raiz2) e F2 = (0, -3raiz2)

Passo 5

Por último, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando x e y tendem ao infinito. A fórmula para as assíntotas na forma y^2a^2 - x^2b^2 = 1 é:
y = pm ba x
Sabendo que b = raiz10 e a = 2raiz2, temos:
ba = raiz102raiz2 = raiz102raiz2 times raiz2raiz2 = raiz204 = 2raiz54 = raiz52
Portanto, as assíntotas são:
y = raiz52 x e y = -raiz52 x

Resposta

Então, resumindo:
  • Vértices: (0, 2raiz2) e (0, -2raiz2)
  • Focos: (0, 3raiz2) e (0, -3raiz2)
  • Assíntotas: y = raiz52 x e y = -raiz52 x

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