Considera a função
definida por
Partindo de
, obtém, justificando, a série de MacLaurin de
e indica o maior intervalo onde essa série representa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências, especificamente a série geométrica que é dada por:
Vamos precisar entender como manipular essa série para se adequar à nossa função $ f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) $ de uma forma que se pareça mais com a forma da série geométrica. Observe que:
Aqui, a gente fez isso para que o denominador tenha a forma $ 1 - r $, onde $ r $ será algo que a gente pode levantar à potência $ n $ na série geométrica.
Passo 3
Agora que reescrevemos $ f(x) $ como $ \frac{x^{2}}{1 - (-3x^{2})} $, podemos aplicar diretamente a série geométrica. Substituindo $ r $ por $ -3x^{2} $, temos:
Então, multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da série para ficar mais clara. A série de MacLaurin da função $ f(x) $ fica:
Isso significa que cada termo da série é dado por $ (-3)^{n} x^{2n + 2} $, começando de $ n = 0 $.
Passo 5
Agora, vamos determinar o maior intervalo onde essa série representa a função $ f(x) $. Para isso, lembramos da condição de convergência da série geométrica que usamos:
Então, o maior intervalo onde a série de MacLaurin representa $ f(x) $ é:
Resposta
A série de MacLaurin de $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $ é:
E o maior intervalo onde essa série representa $ f(x) $ é: