Considera a função f definida por
f(x):=x^21+3 x^2
Partindo de sumn=0^+infty x^n=11-x, x in]-1,1[, obtém, justificando, a série de MacLaurin de f e indica o maior intervalo onde essa série representa f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a série de MacLaurin da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de séries de potências, especificamente a série geométrica que é dada por:
f(x) = x^21 + 3x^2
Vamos precisar entender como manipular essa série para se adequar à nossa função $ f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(x) $ de uma forma que se pareça mais com a forma da série geométrica. Observe que:
f(x)
Aqui, a gente fez isso para que o denominador tenha a forma $ 1 - r $, onde $ r $ será algo que a gente pode levantar à potência $ n $ na série geométrica.

Passo 3

Agora que reescrevemos $ f(x) $ como $ \frac{x^{2}}{1 - (-3x^{2})} $, podemos aplicar diretamente a série geométrica. Substituindo $ r $ por $ -3x^{2} $, temos:
f(x)
Então, multiplicando ambos os lados por $ x^{2} $:
x^21 - (-3x^2)

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da série para ficar mais clara. A série de MacLaurin da função $ f(x) $ fica:
f(x)
Isso significa que cada termo da série é dado por $ (-3)^{n} x^{2n + 2} $, começando de $ n = 0 $.

Passo 5

Agora, vamos determinar o maior intervalo onde essa série representa a função $ f(x) $. Para isso, lembramos da condição de convergência da série geométrica que usamos:
f(x)
Então, o maior intervalo onde a série de MacLaurin representa $ f(x) $ é:
|-3x^2| < 1 implies 3x^2 < 1 implies x^2 < 13 implies |x| < 1raiz3

Resposta

A série de MacLaurin de $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $ é:
f(x) = x^21 + 3x^2
E o maior intervalo onde essa série representa $ f(x) $ é:
f(x) = sumn=0^+infty (-3)^n x^2n + 2

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