Estuda a natureza das seguintes séries numéricas. Em caso de convergência indica se é simples ou absoluta.
(ii) sumn=1^+infty(-1)^n (n^2+sin n)^n(2 n-3)^2 n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para estudarmos a natureza da série numérica sumn=1^+infty (-1)^n (n^2 + sin n)^n(2n - 3)^2n. Isso envolve entender se a série converge ou diverge e, se converge, se é convergência simples ou absoluta. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, especialmente o teste da razão e entender o que significa convergência absoluta e simples.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
an = (-1)^n (n^2 + sin n)^n(2n - 3)^2n
Observamos que sin n está entre -1 e 1, então n^2 + sin n approx n^2 para valores grandes de n. Portanto, podemos aproximar:
an approx (-1)^n n^2n(2n)^2n = (-1)^n (n^24n^2)^n = (-1)^n (14)^n
Isso simplifica a série para algo parecido com uma série geométrica alternada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo potências e fatoriais. O teste da razão diz que, para a série sum an, calculamos:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão na nossa série:
an+1an = (-1)^n+1 ( (n+1)^2 + sin(n+1) )^n+1(2(n+1) - 3)^2(n+1)(-1)^n (n^2 + sin n)^n(2n - 3)^2n
Simplificando os sinais e as potências:
Como | an+1an | = ( (n+1)^2 + sin(n+1) )^n+1(2n - 1)^2(n+1) cdot (2n - 3)^2n(n^2 + sin n)^n cresce, n é desprezível comparado a sin(n), então aproximamos:
Simplificando mais:
n^2
Sabemos que | an+1an | approx (n+1)^2(n+1)(2n)^2(n+1) cdot (2n)^2nn^2n = (n+12n)^2(n+1) cdot (2nn)^2n quando (n+12n)^2n+2 cdot 2^2n = (n+1n)^2n+2 cdot (12)^2n+2 cdot 2^2n = (1 + 1n)^2n+2 cdot (12)^2 tende ao infinito, então:
(1 + 1n)^n approx e
Portanto:
n
Calculando (1 + 1n)^2n+2 approx e^2 e (12)^2 = 14 , então:
L = e^2 cdot 14

Passo 5

Como L approx 1.847 > 1, pelo Teste da Razão, a série diverge. Isso significa que ela não converge absolutamente, nem sequer condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^+infty (-1)^n (n^2 + sin n)^n(2n - 3)^2n diverge.

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