Estuda a natureza das seguintes séries numéricas. Em caso de convergência indica se é simples ou absoluta.
(ii) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para estudarmos a natureza da série numérica . Isso envolve entender se a série converge ou diverge e, se converge, se é convergência simples ou absoluta. Para resolver isso, vamos precisar usar testes de convergência de séries, especialmente o teste da razão e entender o que significa convergência absoluta e simples.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a análise. Temos:
Observamos que está entre -1 e 1, então para valores grandes de . Portanto, podemos aproximar:
Isso simplifica a série para algo parecido com uma série geométrica alternada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos envolvendo potências e fatoriais. O teste da razão diz que, para a série , calculamos:
Se L < 1, a série converge absolutamente; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste não conclui.
Como | an+1an | = ( (n+1)^2 + sin(n+1) )^n+1(2n - 1)^2(n+1) cdot (2n - 3)^2n(n^2 + sin n)^n cresce, n é desprezível comparado a sin(n), então aproximamos: