Considera a região limitada pela curva
, o eixo das abcissas e as retas
e
.
Calcula o integral acima fazendo uma mudança de variável em que
. Observação: se achares que é útil, tira partido da igualdade
1 , mas nesse caso terás de provar esta igualdade também.
Calcula o integral acima fazendo uma mudança de variável em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, o eixo das abscissas (que é o eixo $ x $), e as retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar usar integrais e executar uma mudança de variável utilizando $ x = \sinh t $. Além disso, se a gente usar a igualdade $ \sinh (\ln (1+\sqrt{2})) = 1 $, vamos ter que provar que isso é verdade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, estamos calculando a área sob a curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. A integral que representa essa área é:
Passo 3
Agora, vamos fazer a mudança de variável proposta: $ x = \sinh t $. Mas o que é $ \sinh t $? A função $ \sinh t $ é a função seno hiperbólico, definida por:
Essa substituição pode simplificar a integral. Vamos também precisar calcular $ dx $ em termos de $ dt $.
Passo 4
Derivando $ x = \sinh t $ em relação a $ t $, temos:
Aqui, $ \cosh t $ é a função cosseno hiperbólico, definido por:
Passo 5
Substituindo $ x = \sinh t $ e $ dx = \cosh t , dt $ na integral original, ela fica:
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
A integral $ \int 1 , dt $ é simplesmente $ t + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição $ x = \sinh t $.
Passo 7
Vamos calcular os novos limites:
- Quando $ x = 0 $:
- Quando $ x = 1 $:
Sabemos que $ \sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{2}) $ porque:
Vamos provar essa igualdade.
Passo 8
Para provar que $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) = 1 $, vamos calcular $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) $:
Simplificando $ e^{\ln(a)} = a $ e $ e^{-\ln(a)} = \frac{1}{a} $:
Multiplicando o termo de fração por $ \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} $ para racionalizar:
Substituindo de volta:
Portanto, $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) = 1 $.
Passo 9
Agora que temos os limites de integração em termos de $ t $:
E a integral simplificou para:
Resposta
A integral vale $ \ln(1 + \sqrt{2}) $.