Considera a região limitada pela curva y=1raizx^2+1, o eixo das abcissas e as retas x=0 e x=1.
Calcula o integral acima fazendo uma mudança de variável em que x=sinh t. Observação: se achares que é útil, tira partido da igualdade sinh (ln (1+raiz2))= 1 , mas nesse caso terás de provar esta igualdade também.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, o eixo das abscissas (que é o eixo $ x $), e as retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos precisar usar integrais e executar uma mudança de variável utilizando $ x = \sinh t $. Além disso, se a gente usar a igualdade $ \sinh (\ln (1+\sqrt{2})) = 1 $, vamos ter que provar que isso é verdade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Basicamente, estamos calculando a área sob a curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $ entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $. A integral que representa essa área é:
y = 1raizx^2+1

Passo 3

Agora, vamos fazer a mudança de variável proposta: $ x = \sinh t $. Mas o que é $ \sinh t $? A função $ \sinh t $ é a função seno hiperbólico, definida por:
x = sinh t
Essa substituição pode simplificar a integral. Vamos também precisar calcular $ dx $ em termos de $ dt $.

Passo 4

Derivando $ x = \sinh t $ em relação a $ t $, temos:
x = sinh t
Aqui, $ \cosh t $ é a função cosseno hiperbólico, definido por:
t

Passo 5

Substituindo $ x = \sinh t $ e $ dx = \cosh t , dt $ na integral original, ela fica:
x = sinh t
Vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
dx = cosh t , dt
Portanto, a integral fica:
integral 1raiz(sinh t)^2 + 1 cdot cosh t , dt

Passo 6

A integral $ \int 1 , dt $ é simplesmente $ t + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Mas como estamos lidando com uma integral definida, precisamos determinar os novos limites de integração após a substituição $ x = \sinh t $.

Passo 7

Vamos calcular os novos limites:
  • Quando $ x = 0 $:
x = 0
  • Quando $ x = 1 $:
0 = sinh t implies t = sinh^-1(0) = 0
Sabemos que $ \sinh^{-1}(1) = \ln(1 + \sqrt{2}) $ porque:
x = 1
Vamos provar essa igualdade.

Passo 8

Para provar que $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) = 1 $, vamos calcular $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) $:
sinh(ln(1 + raiz2)) = 1
Simplificando $ e^{\ln(a)} = a $ e $ e^{-\ln(a)} = \frac{1}{a} $:
sinh(ln(1 + raiz2))
Multiplicando o termo de fração por $ \frac{1 - \sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} $ para racionalizar:
sinh(ln(1 + raiz2)) = e^ln(1 + raiz2) - e^-ln(1 + raiz2)2
Substituindo de volta:
e^ln(a) = a
Portanto, $ \sinh(\ln(1 + \sqrt{2})) = 1 $.

Passo 9

Agora que temos os limites de integração em termos de $ t $:
t
E a integral simplificou para:
t in [0, ln(1 + raiz2)]

Resposta

A integral vale $ \ln(1 + \sqrt{2}) $.

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