Considera a região limitada pela curva y=1raizx^2+1, o eixo das abcissas e as retas x=0 e x=1.
Calcula agora o volume do sólido obtido por rotação daquela região em torno do eixo das abcissas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, o eixo das abcissas (linha x), e as retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é girada em torno do eixo das abcissas. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Imagine que a região que você vai girar em torno do eixo x é cortada em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo x. Cada fatia forma um disco quando girada. O volume total do sólido é a soma dos volumes desses discos.

Passo 3

A fórmula para encontrar o volume usando o método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Onde:
  • $ V $ é o volume do sólido,
  • $ f(x) $ é a função que define a fronteira da região,
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1).

Passo 4

Vamos identificar $ f(x) $ na nossa função. Aqui, $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $. Precisamos elevar essa função ao quadrado:
f(x)

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 1x^2+1 , dx
Essa integral é conhecida e sua solução envolve a função arco tangente.

Passo 6

Sabemos que:
integral 1x^2+1 , dx = arctan(x) + C
Portanto, calculamos:
V = pi [ arctan(x) ]0^1 = pi ( arctan(1) - arctan(0) )

Passo 7

Calculando os valores:
arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0
Então:
V = pi ( pi4 - 0 ) = pi^24

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{\pi^{2}}{4} $.

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