Considera a região limitada pela curva
, o eixo das abcissas e as retas
e
.
Calcula agora o volume do sólido obtido por rotação daquela região em torno do eixo das abcissas.
Calcula agora o volume do sólido obtido por rotação daquela região em torno do eixo das abcissas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido formado quando a região limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, o eixo das abcissas (linha x), e as retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é girada em torno do eixo das abcissas. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos discos. Imagine que a região que você vai girar em torno do eixo x é cortada em fatias fininhas perpendicularmente ao eixo x. Cada fatia forma um disco quando girada. O volume total do sólido é a soma dos volumes desses discos.
Passo 3
A fórmula para encontrar o volume usando o método dos discos é:
Onde:
- $ V $ é o volume do sólido,
- $ f(x) $ é a função que define a fronteira da região,
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração (no nosso caso, 0 e 1).
Passo 4
Vamos identificar $ f(x) $ na nossa função. Aqui, $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $. Precisamos elevar essa função ao quadrado:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Essa integral é conhecida e sua solução envolve a função arco tangente.
Passo 6
Sabemos que:
Portanto, calculamos:
Passo 7
Calculando os valores:
Então:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{\pi^{2}}{4} $.