Considera a função
definida por
Determina a linearização de
junto a 1 .
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a linearização da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $ no ponto $ x = 1 $. Isso significa que vamos aproximar essa função por uma reta perto desse ponto específico. Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da linearização que envolve a função e sua derivada no ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função $ f $ quando $ x = 1 $. Substituindo na função:
Então, $ f(1) = \frac{1}{4} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f $, que nos dá a inclinação da reta que vai aproximar a função no ponto $ x = 1 $. A função é:
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é:
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = 1 + 3x^{2} $. Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Então, $ f’(x) = \frac{2x}{(1 + 3x{2}){2}} $.
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada no ponto $ x = 1 $:
Portanto, $ f’(1) = \frac{1}{8} $.
Passo 5
Com os valores de $ f(1) $ e $ f’(1) $ calculados, podemos montar a fórmula da linearização $ L(x) $ usando a fórmula:
Onde $ a = 1 $:
Resposta
A linearização de $ f $ em $ x = 1 $ é: