Considera a função f definida por
f(x):=x^21+3 x^2
Determina a linearização de f junto a 1 .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a linearização da função $ f(x) = \frac{x^{2}}{1 + 3x^{2}} $ no ponto $ x = 1 $. Isso significa que vamos aproximar essa função por uma reta perto desse ponto específico. Para resolver, precisamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula da linearização que envolve a função e sua derivada no ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função $ f $ quando $ x = 1 $. Substituindo na função:
f
Então, $ f(1) = \frac{1}{4} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f $, que nos dá a inclinação da reta que vai aproximar a função no ponto $ x = 1 $. A função é:
f
Para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente, que é:
x = 1
Onde $ u = x^{2} $ e $ v = 1 + 3x^{2} $. Calculando as derivadas:
f(x) = x^21 + 3x^2
Aplicando a regra do quociente:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Então, $ f’(x) = \frac{2x}{(1 + 3x{2}){2}} $.

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada no ponto $ x = 1 $:
x = 1
Portanto, $ f’(1) = \frac{1}{8} $.

Passo 5

Com os valores de $ f(1) $ e $ f’(1) $ calculados, podemos montar a fórmula da linearização $ L(x) $ usando a fórmula:
f(1)
Onde $ a = 1 $:
f'(1)

Resposta

A linearização de $ f $ em $ x = 1 $ é:
f

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