Considera a região limitada pela curva
, o eixo das abcissas e as retas
e
.
Explica por que razão a área dessa região pode ser calculada através do integral
Explica por que razão a área dessa região pode ser calculada através do integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente entender por que a área da região limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, pelo eixo das abscissas (que é o eixo $ x $), e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ pode ser calculada usando o integral $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} , dx $. Vamos usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a área sob uma curva. Imagine que você tem um gráfico de uma função $ y = f(x) $. A área sob essa curva, entre dois pontos $ x = a $ e $ x = b $, é calculada usando a integral definida $ \int_{a}^{b} f(x) , dx $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $. Queremos encontrar a área dessa função entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, e também considerando o eixo $ x $ como limite inferior. Isso significa que estamos interessados na região que está entre a curva, o eixo $ x $, e as linhas verticais $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 4
Para calcular essa área, aplicamos o conceito de integral definida. A integral $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} , dx $ representa exatamente a soma de todas as pequenas áreas de retângulos infinitesimais sob a curva de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
Passo 5
Vamos entender melhor a função $ \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $. Essa função nos dá a altura $ y $ para cada valor de $ x $ entre 0 e 1. Quando integramos essa função, estamos acumulando todas essas alturas ao longo do intervalo, o que resulta na área total da região delimitada.
Passo 6
Portanto, a área da região limitada pela curva $ y = \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} $, pelo eixo das abscissas e pelas retas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ é exatamente dada pelo integral $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} , dx $.
Resposta
A área da região descrita pode ser calculada pelo integral $ \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} , dx $ porque ele representa a soma de todas as pequenas áreas sob a curva entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.