A inequação
vale para todo
Escolha uma opção:
a.
b.
○.
○ d.
Escolha uma opção:
a.
b.
○.
○ d.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
. É um problema de comparação entre uma função racional e o logaritmo natural; vamos precisar determinar o domínio, juntar tudo em uma só função e estudar o seu sinal.
Passo 2
Primeiro, o domínio. Como aparece
, precisamos de
. Além disso o denominador
não pode ser zero, mas isso já está englobado em
. Logo o domínio preliminar é
.
Passo 3
Para estudar a inequação, trazemos tudo para um lado e definimos
. Note que
. Assim,
f(x) = 1 - \frac{1}{x} - \ln(x).
f(x) = 1 - \frac{1}{x} - \ln(x).
Passo 4
Multiplicamos
por
(positivo no domínio) para facilitar a análise do sinal:
Passo 5
Definimos então
, de modo que
. Calculamos a derivada:
Passo 6
Isso mostra que
decresce em
e cresce em
, atingindo mínimo em
. Como
, temos
para todo
, com igualdade apenas em
.
Passo 7
Logo
em todo o domínio, e é estritamente
para
. Como
, dividir não muda o sinal, e obtemos
para todo
exceto em
, onde
não satisfaz
.
Passo 8
Concluímos que a inequação vale exatamente para
.
Resposta
A