A inequação x-1x vale para todo
Escolha uma opção:
a. x in(0,1) cup(1, infty)
b. x neq 1
○. x in(0,2) cup(2, infty)
○ d. x neq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x-1x. É um problema de comparação entre uma função racional e o logaritmo natural; vamos precisar determinar o domínio, juntar tudo em uma só função e estudar o seu sinal.

Passo 2

Primeiro, o domínio. Como aparece ln(x), precisamos de x>0. Além disso o denominador x não pode ser zero, mas isso já está englobado em x>0. Logo o domínio preliminar é x>0.

Passo 3

Para estudar a inequação, trazemos tudo para um lado e definimos f(x)=x-1x-ln(x). Note que x-1x=1-1x. Assim,
f(x) = 1 - \frac{1}{x} - \ln(x).

Passo 4

Multiplicamos f(x) por x (positivo no domínio) para facilitar a análise do sinal:
x,f(x) = xl(1 - 1x - ln(x)r) = x - 1 - xln(x)

Passo 5

Definimos então h(x)=xln(x)-x+1, de modo que x,f(x)=-h(x). Calculamos a derivada:
h'(x)=ln(x)

Passo 6

Isso mostra que h(x) decresce em (0,1) e cresce em (1,infty), atingindo mínimo em x=1. Como h(1)=1cdot0-1+1=0, temos h(x)>=0 para todo x>0, com igualdade apenas em x=1.

Passo 7

Logo x,f(x)=-h(x)<=0 em todo o domínio, e é estritamente <0 para xneq1. Como x>0, dividir não muda o sinal, e obtemos f(x)<0 para todo x>0 exceto em x=1, onde f(1)=0 não satisfaz <0.

Passo 8

Concluímos que a inequação vale exatamente para xin(0,1)cup(1,infty).

Resposta

A

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