Considera a função real de variável real dada por f(x):=e^x(sin x+1).
Escreve a fórmula de MacLaurin de ordem 2, com resto de Lagrange, para a função f.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para escrever a fórmula de MacLaurin de ordem 2, com o resto de Lagrange, para a função $ f(x) = e^{x}(\sin x + 1) $. Isso está relacionado ao conteúdo de séries de Taylor/MacLaurin e às derivações de funções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de MacLaurin de ordem 2. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de $ x = 0 $ que inclui os termos até $ x^2 $. A fórmula geral é:
x = 0
Também vamos precisar adicionar o resto de Lagrange, que nos dá uma estimativa do erro dessa aproximação. A fórmula completa fica:
x^2
onde
P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2

Passo 3

Vamos calcular $ f(0) $:
f(0)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que chamaremos de $ f’(x) $. Usamos a regra do produto para derivar:
f(x)
Derivando:
f'(x)
Agora, calculamos $ f’(0) $:
f(x) = e^x(sin x + 1)

Passo 5

Vamos para a segunda derivada, $ f’’(x) $. Derivamos novamente $ f’(x) $:
f''(x)
Derivando:
f'(x)
Agora, calculamos $ f’’(0) $:
f'(x) = e^x(sin x + cos x + 1)

Passo 6

Com as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de MacLaurin de ordem 2:
P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 = 1 + 2x + 32x^2

Passo 7

Por fim, adicionamos o resto de Lagrange à fórmula:
f(x) = P2(x) + R2(x)
onde
R2(x) = f'''(c)6x^3 para algum c entre 0 e x

Resposta

A fórmula de MacLaurin de ordem 2 para a função $ f(x) = e^{x}(\sin x + 1) $ é:
f(x) = e^x(sin x + 1)
onde o resto de Lagrange $ R_2(x) $ é dado por:
f(x) = 1 + 2x + 32x^2 + R2(x)

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