Considera a função real de variável real dada por
.
Escreve a fórmula de MacLaurin de ordem 2, com resto de Lagrange, para a função
.
Escreve a fórmula de MacLaurin de ordem 2, com resto de Lagrange, para a função
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para escrever a fórmula de MacLaurin de ordem 2, com o resto de Lagrange, para a função $ f(x) = e^{x}(\sin x + 1) $. Isso está relacionado ao conteúdo de séries de Taylor/MacLaurin e às derivações de funções. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas da função até a segunda ordem e avaliar essas derivadas em $ x = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de MacLaurin de ordem 2. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de $ x = 0 $ que inclui os termos até $ x^2 $. A fórmula geral é:
Também vamos precisar adicionar o resto de Lagrange, que nos dá uma estimativa do erro dessa aproximação. A fórmula completa fica:
onde
Passo 3
Vamos calcular $ f(0) $:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $, que chamaremos de $ f’(x) $. Usamos a regra do produto para derivar:
Derivando:
Agora, calculamos $ f’(0) $:
Passo 5
Vamos para a segunda derivada, $ f’’(x) $. Derivamos novamente $ f’(x) $:
Derivando:
Agora, calculamos $ f’’(0) $:
Passo 6
Com as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de MacLaurin de ordem 2:
Passo 7
Por fim, adicionamos o resto de Lagrange à fórmula:
onde
Resposta
A fórmula de MacLaurin de ordem 2 para a função $ f(x) = e^{x}(\sin x + 1) $ é:
onde o resto de Lagrange $ R_2(x) $ é dado por: