Aplicacões
(1) Determine a menor distäncia entre o ponto
e o plano
- RESOLVA USANDO MAXIMOS E MINIMOS LOCAIS
(1) Determine a menor distäncia entre o ponto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a menor distância entre um ponto específico, que é $ p(1, 0, -2) $, e um plano dado pela equação $ \pi x + 2y + z = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de máximos e mínimos locais, que fazem parte do cálculo, mais especificamente da otimização. Basicamente, vamos encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto dado e calcular a distância entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano. A fórmula geral para a distância $ D $ entre um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é:
No nosso caso, a equação do plano é $ \pi x + 2y + z = 4 $. Vamos reescrever essa equação para deixá-la no formato padrão:
Aqui, $ A = \pi $, $ B = 2 $, $ C = 1 $ e $ D = -4 $.
Passo 3
Agora, substituímos os valores do ponto $ p(1, 0, -2) $ na fórmula da distância:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Calculando o numerador:
Então, o valor absoluto fica:
Passo 5
Agora, calculando o denominador:
Passo 6
Substituindo tudo de volta na fórmula da distância:
Passo 7
Como a distância é sempre positiva, podemos simplificar para:
Resposta
A menor distância entre o ponto $ p(1, 0, -2) $ e o plano $ \pi x + 2y + z = 4 $ é: