Aplicacões
(1) Determine a menor distäncia entre o ponto p(1,0,-2) e o plano pi x+2 y+z=4 - RESOLVA USANDO MAXIMOS E MINIMOS LOCAIS

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a menor distância entre um ponto específico, que é $ p(1, 0, -2) $, e um plano dado pela equação $ \pi x + 2y + z = 4 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de máximos e mínimos locais, que fazem parte do cálculo, mais especificamente da otimização. Basicamente, vamos encontrar o ponto no plano que está mais próximo do ponto dado e calcular a distância entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre um ponto e um plano. A fórmula geral para a distância $ D $ entre um ponto $ P(x_0, y_0, z_0) $ e um plano $ Ax + By + Cz + D = 0 $ é:
D
No nosso caso, a equação do plano é $ \pi x + 2y + z = 4 $. Vamos reescrever essa equação para deixá-la no formato padrão:
P(x0, y0, z0)
Aqui, $ A = \pi $, $ B = 2 $, $ C = 1 $ e $ D = -4 $.

Passo 3

Agora, substituímos os valores do ponto $ p(1, 0, -2) $ na fórmula da distância:
p(1, 0, -2)
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculando o numerador:
pi cdot 1 + 2 cdot 0 + 1 cdot (-2) - 4 = pi - 2 - 4 = pi - 6
Então, o valor absoluto fica:
|pi - 6|

Passo 5

Agora, calculando o denominador:
raizpi^2 + 2^2 + 1^2 = raizpi^2 + 4 + 1 = raizpi^2 + 5

Passo 6

Substituindo tudo de volta na fórmula da distância:
D = |pi - 6|raizpi^2 + 5

Passo 7

Como a distância é sempre positiva, podemos simplificar para:
D = |6 - pi|raizpi^2 + 5

Resposta

A menor distância entre o ponto $ p(1, 0, -2) $ e o plano $ \pi x + 2y + z = 4 $ é:
p(1, 0, -2)

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