integralC F cdot d s, onde F é o campo vetorial em R^2 backslash(0,0) dado por F(x, y)=y^2x^2+y^2 i-x^2x^2+y^2 j e C é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos (-1,-1) e (1,1). (Dica: integre primeiro ao longo da poligonal (-1,-1) (-1,1) (1,1); depois ao longo do arco de círculo com raio raiz2 de (-1,-1) até (1,-1), seguido por o segmento de (1,-1) até (1,1).)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC Fcdot d s, com
R^2setminus(0,0) definido em , entre os pontos (-1,-1) e (1,1). Como dica, vamos avaliar a integral em dois caminhos distintos: (i) a poligonal composta pelos segmentos
(-1,-1)to(-1,1) e (-1,1)to(1,1); (ii) o arco de circunferência de raio raiz2 de (-1,-1) a (1,-1) seguido do segmento (1,-1)to(1,1).

Passo 2

Primeiro caminho (poligonal):
Segmento 1: x=-1,;y=t,;tin[-1,1],;dx=0,;dy=dt
Fazendo
Fcdot d s=P,dx+Q,dy =0+l(-x^2x^2+y^2r),dy =-11+t^2,dt
Então
I1=integralt=-1^1 -11+t^2,dt=-l[arctan tr]-1^1=-pi2
Segmento 2: y=1,;x=s,;sin[-1,1],;dy=0,;dx=ds
Fazendo
Fcdot d s=y^2x^2+y^2,dx=11+s^2,ds,
logo
I2=integrals=-1^111+s^2,ds=l[arctan sr]-1^1=pi2
Somando, para a poligonal obtemos
Irm poligonal=I1+I2= -tfracpi2+tfracpi2=0

Passo 3

Segundo caminho (arco + segmento):
Arco de circunferência: parâmetro tmapsto(x,y)=(raiz2cos t,raiz2sin t), com t de -3pi/4 a -pi/4. Então
F=(sin^2t, -cos^2t), d s=(-raiz2sin t,raiz2cos t),dt
Logo
Irm arco=integral-3pi/4^-pi/4 Fcdot d s =-raiz2integral-3pi/4^-pi/4(sin^3t+cos^3t),dt =53
Segmento (1,-1)to(1,1): x=1,;y=u,;uin[-1,1]. Temos
Fcdot d s=-11+u^2,du,
então
Irm vert=integralu=-1^1-11+u^2,du=-pi2
Somando,
Irm arco+seg=Irm arco+Irm vert=53-pi2

Passo 4

Como as duas avaliações dão valores diferentes (zero na poligonal e 5/3-pi/2 no segundo caminho), concluímos que a integral depende do caminho escolhido e, portanto, o campo não é conservativo.

Resposta

Pelo caminho poligonal: 0; pelo arco de círculo + segmento vertical: tfrac53-tfracpi2. A integral depende do caminho.

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