, onde
é o campo vetorial em
dado por
e
é é qualquer caminho diferenciável entre os pontos
e
. (Dica: integre primeiro ao longo da poligonal
; depois ao longo do arco de círculo com raio
de
até
, seguido por o segmento de
até
.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
, com
definido em , entre os pontos
e
. Como dica, vamos avaliar a integral em dois caminhos distintos: (i) a poligonal composta pelos segmentos
e
; (ii) o arco de circunferência de raio
de
a
seguido do segmento
.
Passo 2
Primeiro caminho (poligonal):
Segmento 1:
Segmento 1:
Fazendo
Então
Segmento 2:
Fazendo
logo
Somando, para a poligonal obtemos
Passo 3
Segundo caminho (arco + segmento):
Arco de circunferência: parâmetro , com
de
a
. Então
Arco de circunferência: parâmetro
Logo
Segmento
:
. Temos
então
Somando,
Passo 4
Como as duas avaliações dão valores diferentes (zero na poligonal e
no segundo caminho), concluímos que a integral depende do caminho escolhido e, portanto, o campo não é conservativo.
Resposta
Pelo caminho poligonal: 0; pelo arco de círculo + segmento vertical:
. A integral depende do caminho.