Sabendo que
, determina a soma da seguinte série numérica convergente:
Passo 1
Beleza, vamos esclarecer o que o exercício está pedindo! A gente tem que calcular a soma da série infinita:
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, incluindo séries p e séries geométricas, além do resultado dado:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes distintas para facilitar a resolução:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.
Passo 3
Vamos começar com a primeira soma:
Podemos fazer uma mudança de índice para simplificar. Seja $ m = n + 1 $, então quando $ n = 2 $, $ m = 3 $. Assim, a soma fica:
Sabemos que:
Portanto, para encontrar $ \sum_{m=3}^{+\infty} \frac{1}{m^{2}} $, subtraímos os termos que faltam:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
Essa é uma série geométrica onde a razão $ r = \frac{1}{\pi} $ e o primeiro termo começando em $ n = 2 $ é $ \frac{1}{\pi^{2}} $.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
No nosso caso, ajustando os índices:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
A soma da série é: