Sabendo que sumn=1^+infty 1n^2=pi^26, determina a soma da seguinte série numérica convergente:
sumn=2^+infty(1(n+1)^2+1pi^n)

Passo 1

Beleza, vamos esclarecer o que o exercício está pedindo! A gente tem que calcular a soma da série infinita:
sumn=2^+infty(1(n+1)^2+1pi^n)
Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, incluindo séries p e séries geométricas, além do resultado dado:
sumn=1^+infty 1n^2 = pi^26
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes distintas para facilitar a resolução:
sumn=2^+infty(1(n+1)^2+1pi^n) = sumn=2^+infty 1(n+1)^2 + sumn=2^+infty 1pi^n
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira soma:
sumn=2^+infty 1(n+1)^2
Podemos fazer uma mudança de índice para simplificar. Seja $ m = n + 1 $, então quando $ n = 2 $, $ m = 3 $. Assim, a soma fica:
m = n + 1
Sabemos que:
n = 2
Portanto, para encontrar $ \sum_{m=3}^{+\infty} \frac{1}{m^{2}} $, subtraímos os termos que faltam:
m = 3

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma:
sumn=2^+infty 1pi^n
Essa é uma série geométrica onde a razão $ r = \frac{1}{\pi} $ e o primeiro termo começando em $ n = 2 $ é $ \frac{1}{\pi^{2}} $.
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
r = 1pi
No nosso caso, ajustando os índices:
n = 2

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
sumn=2^+infty(1(n+1)^2+1pi^n) = (pi^26 - 54) + 1pi(pi - 1)

Resposta

A soma da série é:
pi^26 - 54 + 1pi(pi - 1)

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