Derive.
(s) f(x)=ln (sen(a x))x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=dfracln(sin(ax))x. Vamos usar o conteúdo de derivada de quociente, regra da cadeia e derivada de funções elementares ( ln e sin).

Passo 2

Aplicando a regra do quociente: a derivada de f(x)=dfracu(x)v(x) é f'(x)=dfracv(x)u'(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2. Aqui u(x)=ln(sin(ax)) e v(x)=x. Temos
u'(x)=dfrac1sin(ax)cdot (sin(ax))' = dfrac1sin(ax)cdot [acos(ax)] = acot(ax),
e
v'(x)=1. Logo,
$$f’(x)=\frac{x\cdot\bigl(a\cot(ax)\bigr)-\ln(\sin(ax))\cdot1}{x^2}=\frac{a x\cot(ax)-\ln(\sin(ax))}{x^2}.
$$

Resposta

f'(x)=dfraca xcot(ax)-ln(sin(ax))x^2

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