Consideramos a sequência \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} definida por u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}.
  1. Mostre que
\frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}
  1. Mostre que a sequência \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} é limitada por 2.
  2. Mostre que a sequência \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} é crescente.
  3. Deduzir que \left(u_{n}\right)_{n \geq 1} converge.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Definição: a sequência \left(u_{n}\right)_{n\ge1} é dada por
u_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}}.
  • O enunciado pede quatro coisas:
    1. Mostrar que \displaystyle \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}. (Note que para essa desigualdade faz sentido tomar n\ge2.)
    2. Mostrar que a sequência \left(u_{n}\right) é limitada por 2, isto é, u_{n}\le 2 para todo n.
    3. Mostrar que \left(u_{n}\right) é crescente.
    4. Deduzir que \left(u_{n}\right) converge.

Passo 2

Provar a desigualdade do item 1 para n\ge2.
Começo calculando o lado direito:
\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=\frac{1}{n(n-1)}.
Logo a desigualdade desejada equivale a
\frac{1}{n^{2}}\le \frac{1}{n(n-1)}.
Como n(n-1)=n^{2}-n < n^{2} para n\ge2, o denominador n(n-1) é menor que n^{2}; portanto a fração \dfrac{1}{n(n-1)} é maior que \dfrac{1}{n^{2}}. Assim
\frac{1}{n^{2}}\le \frac{1}{n(n-1)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n},
o que prova a desigualdade para todo n\ge2.

Passo 3

Usar a desigualdade obtida em cada termo para comparar soma das inversas quadradas com uma soma telescópica.
Para n\ge2 e somando a desigualdade do passo anterior para k=2,3,\dots,n obtemos:
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}}\le \sum_{k=2}^{n}\Big(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\Big).
O lado direito é uma soma telescópica; vamos explicá-la e calcular:

Passo 4

Calcular explicitamente a soma telescópica do lado direito.
A soma telescópica é
\sum_{k=2}^{n}\Big(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\Big) = \Big(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\Big)+\Big(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\Big)+\cdots+\Big(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\Big).
Percebe-se que termos intermediários cancelam dois a dois: -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0, -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=0, etc. Fica apenas
\sum_{k=2}^{n}\Big(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\Big)=\frac{1}{1}-\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n}.

Passo 5

Concluir a cota superior para u_{n} (item 2).
Usando os passos 3 e 4:
\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}}\le 1-\frac{1}{n}.
Somando o termo k=1 (que é 1) aos dois lados, obtemos
u_{n}=\underbrace{1}_{k=1}+\sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k^{2}}\le 1+\Big(1-\frac{1}{n}\Big)=2-\frac{1}{n}.
Como 2-\dfrac{1}{n}\le 2 para todo n\ge1, segue que
u_{n}\le 2\quad\text{para todo }n,
ou seja, a sequência é limitada superiormente por 2. (Isto responde o item 2.)

Passo 6

Mostrar que a sequência é crescente (item 3).
A definição de crescente: \left(u_{n}\right) é crescente se u_{n+1}\ge u_{n} para todo n. Calculo a diferença:
u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0
para todo n\ge1. Como a diferença é estritamente positiva, a sequência é estritamente crescente. Assim o item 3 está provado.

Passo 7

Deduzir a convergência (item 4) usando uma propriedade fundamental de sequências monotônicas.
Teorema (forma usada aqui, explicado de forma simples): toda sequência real que é crescente e tem uma cota superior finita converge; o limite é o menor limite superior (supremo) da sequência. Intuição: uma sequência crescente sobe, mas se não pode ultrapassar uma cota fixa, ela se aproxima de um valor limite.
Já mostramos que \left(u_{n}\right) é crescente (Passo 6) e que é limitada superiormente por 2 (Passo 5). Logo, pelo teorema acima, \left(u_{n}\right) converge. Podemos ainda notar que o limite L=\lim_{n\to\infty}u_{n} satisfaz 1\le L\le 2; mais precisamente, dos passos obtivemos u_{n}\le 2-\dfrac{1}{n} e passando ao limite L\le2. (Não é pedido calcular L explicitamente; este L é o valor da soma infinita \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}, conhecida como \dfrac{\pi^{2}}{6}, mas isso é informação extra não exigida pelo enunciado.)

Resposta

  1. A desigualdade vale para todo n\ge2: \displaystyle \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.
  2. A sequência \left(u_{n}\right) é limitada por 2: \displaystyle u_{n}\le 2 para todo n.
  3. A sequência \left(u_{n}\right) é crescente, pois \displaystyle u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0.
  4. Portanto \left(u_{n}\right) converge (sequência crescente e limitada superiormente).

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