Como n(n-1)=n^{2}-n < n^{2} para n\ge2, o denominador n(n-1) é menor que n^{2}; portanto a fração \dfrac{1}{n(n-1)} é maior que \dfrac{1}{n^{2}}. Assim
Como 2-\dfrac{1}{n}\le 2 para todo n\ge1, segue que
u_{n}\le 2\quad\text{para todo }n,
ou seja, a sequência é limitada superiormente por 2. (Isto responde o item 2.)
Passo 6
Mostrar que a sequência é crescente (item 3).
A definição de crescente: \left(u_{n}\right) é crescente se u_{n+1}\ge u_{n} para todo n. Calculo a diferença:
u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0
para todo n\ge1. Como a diferença é estritamente positiva, a sequência é estritamente crescente. Assim o item 3 está provado.
Passo 7
Deduzir a convergência (item 4) usando uma propriedade fundamental de sequências monotônicas.
Teorema (forma usada aqui, explicado de forma simples): toda sequência real que é crescente e tem uma cota superior finita converge; o limite é o menor limite superior (supremo) da sequência. Intuição: uma sequência crescente sobe, mas se não pode ultrapassar uma cota fixa, ela se aproxima de um valor limite.
Já mostramos que \left(u_{n}\right) é crescente (Passo 6) e que é limitada superiormente por 2 (Passo 5). Logo, pelo teorema acima, \left(u_{n}\right) converge. Podemos ainda notar que o limite L=\lim_{n\to\infty}u_{n} satisfaz 1\le L\le 2; mais precisamente, dos passos obtivemos u_{n}\le 2-\dfrac{1}{n} e passando ao limite L\le2. (Não é pedido calcular L explicitamente; este L é o valor da soma infinita \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{2}}, conhecida como \dfrac{\pi^{2}}{6}, mas isso é informação extra não exigida pelo enunciado.)
Resposta
A desigualdade vale para todo n\ge2: \displaystyle \frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}.
A sequência \left(u_{n}\right) é limitada por 2: \displaystyle u_{n}\le 2 para todo n.
A sequência \left(u_{n}\right) é crescente, pois \displaystyle u_{n+1}-u_{n}=\frac{1}{(n+1)^{2}}>0.
Portanto \left(u_{n}\right) converge (sequência crescente e limitada superiormente).