Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede que verifiquemos, para essa sequência, se ela é:
- crescente;
- decrescente;
- não monótona;
- limitada inferiormente;
- limitada superiormente;
- limitada (no sentido de ter ambos os limites).
As informações que temos são apenas a expressão geral do termo da sequência:
para
.
Passo 2
Vamos escrever os primeiros termos para ter intuição:
Percebe que os termos vão sendo
— eles estão ficando menores conforme
aumenta. Isso já sugere que a sequência é decrescente.
Passo 3
Vamos provar formalmente que a sequência é estritamente decrescente. Defina
Calcule o termo seguinte em função de
:
Como
, temos
. Além disso,
para todo
. Então, dividindo um número positivo por
resulta num número estritamente menor:
Por definição, uma sequência é estritamente decrescente quando
para todo
. Portanto a sequência
é estritamente decrescente. Como é estritamente decrescente, não é crescente nem não monótona (ela é monotônica: monotonicamente decrescente).
Passo 4
Agora tratamos da acotação (boundedness).
- Limitada inferiormente: como já observamos, para todo
vale
Logo
é uma cota inferior (um lower bound). Na verdade o ínfimo da sequência é
, porque os termos tendem a zero. Portanto a sequência é limitada inferiormente.
- Limitada superiormente: o maior termo ocorre em
, pois a sequência é decrescente. Assim
Logo
é uma cota superior (an upper bound). Portanto a sequência é limitada superiormente.
- Limitada: como existe tanto uma cota inferior quanto uma cota superior (por exemplo
para todo ), a sequência é limitada no sentido usual. Em termos de norma, existe tal que ; aqui podemos escolher .
Passo 5
Complemento útil (intuição e conclusão): a sequência é um caso particular de sequência geométrica com razão
. Para uma sequência geométrica
com
tem-se decaimento para zero, monotonia conforme o sinal de
, e é limitada. No nosso caso
e
, logo
, reforçando que
é cota inferior e que a sequência é limitada.
Resposta
Crescente: não.
Decrescente: sim, estritamente decrescente.
Não monótona: não (é monótona: decrescente).
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por ).
Limitada superiormente: sim (por exemplo por ).
Limitada: sim (ex.: para todo
).
Decrescente: sim, estritamente decrescente.
Não monótona: não (é monótona: decrescente).
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por
Limitada superiormente: sim (por exemplo por
Limitada: sim (ex.: