Verifique se a sequência é crescente, decrescente, não monótona, limitada inferiormente, limitada superiormente e/ou limitada.
\left\{3^{-n}\right\}_{n=0}^{\infty}

Passo 1

O enunciado dá a sequência
\{3^{-n}\}_{n=0}^{\infty}
e pede que verifiquemos, para essa sequência, se ela é:
  • crescente;
  • decrescente;
  • não monótona;
  • limitada inferiormente;
  • limitada superiormente;
  • limitada (no sentido de ter ambos os limites).
As informações que temos são apenas a expressão geral do termo da sequência: a_n=3^{-n} para n=0,1,2,\dots.

Passo 2

Vamos escrever os primeiros termos para ter intuição:
a_0=3^{0}=1,\qquad a_1=3^{-1}=\frac{1}{3},\qquad a_2=3^{-2}=\frac{1}{9},\qquad a_3=3^{-3}=\frac{1}{27},\dots
Percebe que os termos vão sendo 1,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{9},\tfrac{1}{27},\dots — eles estão ficando menores conforme n aumenta. Isso já sugere que a sequência é decrescente.

Passo 3

Vamos provar formalmente que a sequência é estritamente decrescente. Defina
a_n=3^{-n}.
Calcule o termo seguinte em função de a_n:
a_{n+1}=3^{-(n+1)}=3^{-n}\cdot 3^{-1}=\frac{a_n}{3}.
Como 3>1, temos \frac{1}{3}<1. Além disso, a_n=3^{-n}>0 para todo n. Então, dividindo um número positivo por 3 resulta num número estritamente menor:
a_{n+1}=\frac{a_n}{3}<a_n\qquad\text{para todo }n\ge 0.
Por definição, uma sequência é estritamente decrescente quando a_{n+1}<a_n para todo n. Portanto a sequência \{3^{-n}\} é estritamente decrescente. Como é estritamente decrescente, não é crescente nem não monótona (ela é monotônica: monotonicamente decrescente).

Passo 4

Agora tratamos da acotação (boundedness).
  1. Limitada inferiormente: como já observamos, para todo n vale
a_n=3^{-n}>0.
Logo 0 é uma cota inferior (um lower bound). Na verdade o ínfimo da sequência é \inf\{a_n\}=0, porque os termos tendem a zero. Portanto a sequência é limitada inferiormente.
  1. Limitada superiormente: o maior termo ocorre em n=0, pois a sequência é decrescente. Assim
a_n\le a_0=1\qquad\text{para todo }n\ge 0.
Logo 1 é uma cota superior (an upper bound). Portanto a sequência é limitada superiormente.
  1. Limitada: como existe tanto uma cota inferior quanto uma cota superior (por exemplo 0\le a_n\le 1 para todo n), a sequência é limitada no sentido usual. Em termos de norma, existe M tal que |a_n|\le M; aqui podemos escolher M=1.

Passo 5

Complemento útil (intuição e conclusão): a sequência é um caso particular de sequência geométrica com razão r=\tfrac{1}{3}. Para uma sequência geométrica a_n=a_0 r^n com |r|<1 tem-se decaimento para zero, monotonia conforme o sinal de r, e é limitada. No nosso caso a_0=1 e r=\tfrac{1}{3}, logo \lim_{n\to\infty}a_n=0, reforçando que 0 é cota inferior e que a sequência é limitada.

Resposta

Crescente: não.
Decrescente: sim, estritamente decrescente.
Não monótona: não (é monótona: decrescente).
Limitada inferiormente: sim (por exemplo por 0).
Limitada superiormente: sim (por exemplo por 1).
Limitada: sim (ex.: 0\le 3^{-n}\le 1 para todo n).

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