Calcule os seguintes limites, se existirem, das seguintes sequências:
w_{n}=\frac{\ln (n+1)}{\ln n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
w_{n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln n},
e pede que calculemos o limite quando n\to\infty, se ele existir. Observações e informações fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência está definida para n\ge2, porque \ln 1=0 tornaria o denominador nulo.
  • O que se pede: determinar \displaystyle\lim_{n\to\infty} w_{n}.

Passo 2

Uma reescrita útil para entender o comportamento quando n é grande é separar \ln(n+1) em termos de \ln n. Usando a propriedade dos logaritmos \ln(ab)=\ln a+\ln b, temos
\ln(n+1)=\ln\!\big(n\cdot\frac{n+1}{n}\big)=\ln n+\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big).
Substituindo na definição de w_{n} obtemos
w_{n}=\frac{\ln n+\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n} =1+\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}.

Passo 3

Agora vamos estudar o termo extra
\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}.
Primeiro, note que \tfrac{1}{n}\to0 quando n\to\infty. A função \ln x é contínua em x=1, portanto
\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)\to\ln 1=0\quad\text{quando }n\to\infty.
Para ter um controle mais explícito e rigoroso do quão rápido isso tende a zero, usamos a desigualdade válida para x>-1:
\ln(1+x)\le x.
Aplicando com x=\tfrac{1}{n}>0 obtemos, para n\ge1,
0<\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)\le\tfrac{1}{n}.

Passo 4

Agora observe o comportamento do denominador: \ln n é uma função crescente que tende a +\infty quando n\to\infty. Logo o denominador cresce sem limite.

Passo 5

Combine as desigualdades dos passos anteriores para controlar o quociente. Para n\ge2 temos
0<\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}\le\frac{1/n}{\ln n}=\frac{1}{n\ln n}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\ln n}=0 (pois n\ln n\to\infty), pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)}{\ln n}=0.
Portanto, usando a reescrita do Passo 2,
\lim_{n\to\infty} w_{n}=1+0=1.

Passo 6

Resumo didático para a prova: uma linha rápida que costuma cair bem é escrever
w_{n}=1+\frac{\ln(1+1/n)}{\ln n},
lembrar que \ln(1+1/n)\to0 e \ln n\to\infty, ou usar a desigualdade \ln(1+1/n)\le 1/n para ver que o quociente \to0. Assim w_n\to1. Força aí — essa é uma resolução curtinha e segura para anotar na prova!

Resposta

1

Exercícios relacionados