Calcule os seguintes limites, se existirem, das seguintes sequências:
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede que calculemos o limite quando
, se ele existir. Observações e informações fornecidas pelo enunciado:
- A sequência está definida para
, porque tornaria o denominador nulo. - O que se pede: determinar
.
Passo 2
Uma reescrita útil para entender o comportamento quando
é grande é separar
em termos de
. Usando a propriedade dos logaritmos
, temos
Substituindo na definição de
obtemos
Passo 3
Agora vamos estudar o termo extra
Primeiro, note que
quando
. A função
é contínua em
, portanto
Para ter um controle mais explícito e rigoroso do quão rápido isso tende a zero, usamos a desigualdade válida para
:
Aplicando com
obtemos, para
,
Passo 4
Agora observe o comportamento do denominador:
é uma função crescente que tende a
quando
. Logo o denominador cresce sem limite.
Passo 5
Combine as desigualdades dos passos anteriores para controlar o quociente. Para
temos
Como
(pois
), pelo Teorema do Confronto concluímos que
Portanto, usando a reescrita do Passo 2,
Passo 6
Resumo didático para a prova: uma linha rápida que costuma cair bem é escrever
lembrar que
e
, ou usar a desigualdade
para ver que o quociente
. Assim
. Força aí — essa é uma resolução curtinha e segura para anotar na prova!