Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro \mathrm{D}=5 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~mm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{b}}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K . Determine:
Extremidade Adiabática:
Calcule a temperatura na ponta da aleta (x=L) e a taxa de transferência de calor, assumindo que a ponta está perfeitamente isolada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Material: cobre com condutividade k=400\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Diâmetro da aleta: D=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento da aleta: L=100\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura na base: T_b=100^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do fluido distante: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente de convecção: h=10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}.
O enunciado pede (para a extremidade adiabática):
  1. A temperatura na ponta da aleta, isto é T(x=L).
  2. A taxa de transferência de calor da aleta (isto é Q saída pela base), assumindo ponta perfeitamente isolada.

Passo 2

Formulação da equação de condução na aleta e definição de m.
  • Defino a função de excesso de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty. Então na base \theta(0)=T_b-T_\infty.
  • Para aleta com seção constante e troca de calor por convecção lateral, a equação diferencial linear é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde
m^2=\frac{hP}{kA_c}.
  • Aqui P é o perímetro da seção transversal e A_c a área da seção. Para seção circular (diâmetro D):
P=\pi D,\qquad A_c=\frac{\pi D^2}{4}.
  • Substituindo P e A_c em m^2 simplifica-se:
m^2=\frac{h\pi D}{k(\pi D^2/4)}=\frac{4h}{kD},\qquad m=\sqrt{\frac{4h}{kD}}.
Agora calculo numericamente m:
m=\sqrt{\frac{4\cdot 10}{400\cdot 0{,}005}}=\sqrt{\frac{40}{2}}=\sqrt{20}=4{,}472135955\\ \mathrm{m}^{-1}.
Para uso prático usarei m\approx 4{,}472\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 3

Solução geral da equação e aplicação da condição de ponta adiabática.
  • A solução geral da equação homogênea é
\theta(x)=C_1\operatorname{cosh}(mx)+C_2\operatorname{sinh}(mx).
  • Condição na base: \theta(0)=\theta_b, onde
\theta_b=T_b-T_\infty=100-20=80\\ \mathrm{K}.
Isso dá C_1=\theta_b.
  • Condição de ponta adiabática (isolada): \left.\dfrac{d\theta}{dx}\right|_{x=L}=0.
    A derivada é \theta'(x)=mC_1\operatorname{sinh}(mx)+mC_2\operatorname{cosh}(mx). Em x=L a condição dá
C_1\operatorname{sinh}(mL)+C_2\operatorname{cosh}(mL)=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=-C_1\operatorname{tanh}(mL).
  • Substituindo C_1 e C_2 a forma compacta que fica muito conveniente é
\theta(x)=\theta_b\frac{\operatorname{cosh}\bigl(m(L-x)\bigr)}{\operatorname{cosh}(mL)}.
Verifique: em x=0 \theta(0)=\theta_b e em x=L tem derivada nula.

Passo 4

Cálculo da temperatura na ponta x=L.
  • A excess temperature na ponta é
\theta(L)=\theta_b\frac{\operatorname{cosh}(0)}{\operatorname{cosh}(mL)}=\frac{\theta_b}{\operatorname{cosh}(mL)}.
  • Calculo de mL:
mL=4{,}472135955\cdot 0{,}1\approx 0{,}447213596.
  • Calculo de \operatorname{cosh}(mL). Usando o valor acima:
\operatorname{cosh}(0{,}447213596)\approx 1{,}10155.
  • Logo
\theta(L)=\frac{80}{1{,}10155}\approx 72{,}63\\ \mathrm{K}.
  • Assim a temperatura absoluta na ponta é
T(L)=T_\infty+\theta(L)=20+72{,}63\approx 92{,}63^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculo da taxa de calor Q extraída pela aleta (fluxo na base).
  • A taxa total de calor retirada pela aleta (igual ao calor conduzido na base) é
Q=-kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0}=-kA_c\left.\frac{d\theta}{dx}\right|_{x=0}.
  • Usando a expressão para \theta(x) e sua derivada em x=0 (ou usando fórmula padrão), chega-se a
Q=kA_c m\,\theta_b\operatorname{tanh}(mL).
  • Observando que kA_c m=\sqrt{hPkA_c} (verificação algébrica simples), podemos escrever também
Q=\sqrt{hPkA_c}\,\theta_b\operatorname{tanh}(mL).
  • Agora calculo os valores numéricos:
    • P=\pi D=\pi\cdot 0{,}005\approx 0{,}01570796\\ \mathrm{m}.
    • A_c=\dfrac{\pi D^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}005)^2}{4}\approx 1{,}9635\times 10^{-5}\\ \mathrm{m}^2.
    • Produto dentro da raiz:
    hPkA_c=10\cdot 0{,}01570796\cdot 400\cdot 1{,}9635\times 10^{-5}\approx 0{,}00123369.
    • Raiz:
    \sqrt{hPkA_c}\approx 0{,}0351126\\ \mathrm{W}/\mathrm{K}.
    • \operatorname{tanh}(mL)=\operatorname{tanh}(0{,}447213596)\approx 0{,}41930.
    • Finalmente
    Q\approx 0{,}0351126\cdot 80\cdot 0{,}41930\approx 1{,}177\\ \mathrm{W}.

Resposta

T(L)\approx 92{,}6^\circ\mathrm{C}
Q\approx 1{,}18\\ \mathrm{W}

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