Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre (
), com diâmetro
, comprimento
e
. K . Determine:
Extremidade Adiabática:
Calcule a temperatura na ponta da aleta
e a taxa de transferência de calor, assumindo que a ponta está perfeitamente isolada.
Extremidade Adiabática:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
- Material: cobre com condutividade
. - Diâmetro da aleta:
. - Comprimento da aleta:
. - Temperatura na base:
. - Temperatura do fluido distante:
. - Coeficiente de convecção:
.
O enunciado pede (para a extremidade adiabática):
- A temperatura na ponta da aleta, isto é
. - A taxa de transferência de calor da aleta (isto é
saída pela base), assumindo ponta perfeitamente isolada.
Passo 2
Formulação da equação de condução na aleta e definição de
.
- Defino a função de excesso de temperatura
. Então na base . - Para aleta com seção constante e troca de calor por convecção lateral, a equação diferencial linear é
onde
- Aqui
é o perímetro da seção transversal e a área da seção. Para seção circular (diâmetro ):
- Substituindo
e em simplifica-se:
Agora calculo numericamente
:
Para uso prático usarei
.
Passo 3
Solução geral da equação e aplicação da condição de ponta adiabática.
- A solução geral da equação homogênea é
- Condição na base:
, onde
Isso dá
.
- Condição de ponta adiabática (isolada):
.
A derivada é . Em a condição dá
- Substituindo
e a forma compacta que fica muito conveniente é
Verifique: em
dá
e em
tem derivada nula.
Passo 4
Cálculo da temperatura na ponta
.
- A excess temperature na ponta é
- Calculo de
:
- Calculo de
. Usando o valor acima:
- Logo
- Assim a temperatura absoluta na ponta é
Passo 5
Cálculo da taxa de calor
extraída pela aleta (fluxo na base).
- A taxa total de calor retirada pela aleta (igual ao calor conduzido na base) é
- Usando a expressão para
e sua derivada em (ou usando fórmula padrão), chega-se a
- Observando que
(verificação algébrica simples), podemos escrever também
- Agora calculo os valores numéricos:
-
-
- Produto dentro da raiz:
- Raiz:
-
- Finalmente
-