Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro \mathrm{D}=5 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~mm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{b}}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K . Determine:
Aleta Infinita:
Determine a taxa de calor dissipada se a aleta for longa o suficiente para que a temperatura em sua extremidade atinja a temperatura do ambiente. Qual o erro percentual se compararmos com a aleta do exercício anterior?

Passo 1

O enunciado fornece uma aleta (pin fin) cilíndrica com os seguintes dados:
  • condutividade térmica: k=400\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}
  • diâmetro: D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}
  • comprimento: L=100\\ \mathrm{mm}=0,1\\ \mathrm{m}
  • temperatura da base: T_b=100^\circ\mathrm{C}
  • temperatura do fluido ambiente: T_\infty=20^\circ\mathrm{C}
  • coeficiente convectivo: h=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}
O que se pede:
  1. Determinar a taxa de calor dissipada pela aleta no caso “infinita”, isto é, quando a aleta for longa o suficiente para que a temperatura na extremidade alcance a temperatura do ambiente (tipicamente assumido T(x\to\infty)=T_\infty).
  2. Calcular o erro percentual ao comparar o resultado da aleta infinita com o resultado da aleta do exercício anterior (a qual tem comprimento L=0,1\\ \mathrm{m}; portanto será calculada aqui para fins de comparação).

Passo 2

Entendendo a modelagem e a fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
  • Definimos a função de excesso de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty. Em regime estacionário, condição unidimensional e propriedades constantes, a equação diferencial do balanço térmico da aleta de seção constante é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Aqui:
  • P é o perímetro da seção transversal (para um cilindro P=\pi D),
  • A_c é a área da seção transversal (para um cilindro A_c=\dfrac{\pi D^2}{4}),
  • k é a condutividade térmica,
  • h é o coeficiente convectivo.
  • Para a aleta considerada “infinita” (ou seja, suficientemente longa com \theta(x\to\infty)=0), a solução da ODE é \theta(x)=\theta_b e^{-m x} com \theta_b=T_b-T_\infty. A taxa de calor extraída pela aleta na base ( x=0) é dada por
\dot Q_\infty = -kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = kA_c m (T_b-T_\infty).
  • Observação prática: a mesma expressão pode ser escrita como
\dot Q_\infty = \sqrt{h P k A_c}\,(T_b-T_\infty),
porque kA_c m = kA_c\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{hPkA_c}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para calcular numericamente.

Passo 3

Cálculo das grandezas geométricas da seção do cilindro.
  • Área da seção transversal:
A_c=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0,005)^2}{4}=\pi\cdot 6{,}25\times 10^{-6}=1{,}9634954\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  • Perímetro:
P=\pi D=\pi\cdot 0,005=0{,}0157079633\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo do parâmetro m.
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}} =\sqrt{\frac{10\cdot 0{,}0157079633}{400\cdot 1{,}9634954\times 10^{-5}}} =\sqrt{20}=4{,}472135955\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 5

Cálculo da taxa de calor para a aleta infinita usando \dot Q_\infty = kA_c m (T_b-T_\infty).
  • Primeiro calcule kA_c:
kA_c=400\cdot 1{,}9634954\times 10^{-5}=0{,}0078539816\\ \mathrm{W/K\cdot m}.
  • Em seguida kA_c m:
kA_c m = 0{,}0078539816\cdot 4{,}472135955 = 0{,}035117367\\ \mathrm{W/(K)}.
  • Diferença de temperatura:
T_b-T_\infty=100-20=80\\ \mathrm{K}.
  • Portanto
\dot Q_\infty = 0{,}035117367\cdot 80 = 2{,}80938936\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos: \dot Q_\infty \approx 2{,}81\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Cálculo do calor dissipado pela aleta finita (comprimento L=0{,}1\\ \mathrm{m}) — necessário para comparar e obter o erro percentual.
Para a aleta de comprimento finito com convecção na ponta, a expressão geral é
\dot Q = m k A_c (T_b-T_\infty)\,\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Vou calcular cada termo:
  • mL = 4{,}472135955\cdot 0{,}1 = 0{,}4472135955.
  • Calcule as funções hiperbólicas (valor aproximado):
\operatorname{sinh}(mL)\approx 0{,}4621643,\qquad \operatorname{cosh}(mL)\approx 1{,}1017833.
  • Calcule \dfrac{h}{mk}:
\frac{h}{mk}=\frac{10}{4{,}472135955\cdot 400}=0{,}005590169944.
  • Numerador da fração:
N=\operatorname{sinh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)\approx 0{,}4621643+0{,}005590169944\cdot 1{,}1017833 \approx 0{,}4683213.
  • Denominador da fração:
D=\operatorname{cosh}(mL)+\frac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)\approx 1{,}1017833+0{,}005590169944\cdot 0{,}4621643 \approx 1{,}1043681.
  • Fração N/D\approx 0{,}4239958.
Como vimos em Passo 5, m k A_c (T_b-T_\infty)=\dot Q_\infty \approx 2{,}80938936\\ \mathrm{W}. Portanto
\dot Q = \dot Q_\infty\cdot\frac{N}{D} \approx 2{,}80938936\cdot 0{,}4239958 \approx 1{,}191016\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \dot Q_{\text{finita}} \approx 1{,}19\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Cálculo do erro percentual entre a aleta infinita e a aleta do exercício anterior (a priori finita, com L=0{,}1\\ \mathrm{m}).
Vou definir o erro percentual como a variação relativa do valor assumido pela aleta infinita em relação ao valor real (finito) do exercício anterior:
\text{erro\%}=\frac{\dot Q_\infty-\dot Q_{\text{finita}}}{\dot Q_{\text{finita}}}\times 100\%.
Substituindo valores:
\text{erro\%}=\frac{2{,}80938936-1{,}191016}{1{,}191016}\times 100\%\approx 135{,}8\%.
Interpretação curta e prática: assumir aleta “infinita” (isto é, que a ponta já está à temperatura ambiente) superestima fortemente a taxa de calor para a aleta com comprimento real 0{,}1\\ \mathrm{m} — mais que o dobro (erro de aproximadamente 136\%).
Força final: deu trabalho, mas agora você tem passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que resolve exercícios da prova. Vai dar certo!

Resposta

\dot Q_{\text{infinita}} \approx 2{,}81\\ \mathrm{W}
\text{Erro percentual} \approx 135{,}8\\ \%

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