Considerando uma Aleta cilíndrica (pin fin) de cobre ( \mathrm{k}=400 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), com diâmetro \mathrm{D}=5 \mathrm{~mm}, comprimento \mathrm{L}=100 \mathrm{~mm}, \mathrm{~T}_{\mathrm{b}}=100^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\infty}=20^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. K . Determine:
Aleta Infinita:
Determine a taxa de calor dissipada se a aleta for longa o suficiente para que a temperatura em sua extremidade atinja a temperatura do ambiente. Qual o erro percentual se compararmos com a aleta do exercício anterior?
Passo 1
O enunciado fornece uma aleta (pin fin) cilíndrica com os seguintes dados:
Determinar a taxa de calor dissipada pela aleta no caso “infinita”, isto é, quando a aleta for longa o suficiente para que a temperatura na extremidade alcance a temperatura do ambiente (tipicamente assumido T(x\to\infty)=T_\infty).
Calcular o erro percentual ao comparar o resultado da aleta infinita com o resultado da aleta do exercício anterior (a qual tem comprimento L=0,1\\ \mathrm{m}; portanto será calculada aqui para fins de comparação).
Passo 2
Entendendo a modelagem e a fórmula que vamos usar (aula curta e prática).
Definimos a função de excesso de temperatura \theta(x)=T(x)-T_\infty. Em regime estacionário, condição unidimensional e propriedades constantes, a equação diferencial do balanço térmico da aleta de seção constante é
\frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,
onde
m=\sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Aqui:
P é o perímetro da seção transversal (para um cilindro P=\pi D),
A_c é a área da seção transversal (para um cilindro A_c=\dfrac{\pi D^2}{4}),
k é a condutividade térmica,
h é o coeficiente convectivo.
Para a aleta considerada “infinita” (ou seja, suficientemente longa com \theta(x\to\infty)=0), a solução da ODE é \theta(x)=\theta_b e^{-m x} com \theta_b=T_b-T_\infty. A taxa de calor extraída pela aleta na base (x=0) é dada por
\dot Q_\infty = -kA_c\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = kA_c m (T_b-T_\infty).
Observação prática: a mesma expressão pode ser escrita como
\dot Q_\infty = \sqrt{h P k A_c}\,(T_b-T_\infty),
porque kA_c m = kA_c\sqrt{\dfrac{hP}{kA_c}}=\sqrt{hPkA_c}.
Vou usar essas fórmulas passo a passo para calcular numericamente.
Passo 3
Cálculo das grandezas geométricas da seção do cilindro.
Arredondando para três algarismos significativos: \dot Q_\infty \approx 2{,}81\\ \mathrm{W}.
Passo 6
Cálculo do calor dissipado pela aleta finita (comprimento L=0{,}1\\ \mathrm{m}) — necessário para comparar e obter o erro percentual.
Para a aleta de comprimento finito com convecção na ponta, a expressão geral é
\dot Q = m k A_c (T_b-T_\infty)\,\frac{\operatorname{sinh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{cosh}(mL)}{\operatorname{cosh}(mL)+\dfrac{h}{mk}\operatorname{sinh}(mL)}.
Vou calcular cada termo:
mL = 4{,}472135955\cdot 0{,}1 = 0{,}4472135955.
Calcule as funções hiperbólicas (valor aproximado):
Interpretação curta e prática: assumir aleta “infinita” (isto é, que a ponta já está à temperatura ambiente) superestima fortemente a taxa de calor para a aleta com comprimento real 0{,}1\\ \mathrm{m} — mais que o dobro (erro de aproximadamente 136\%).
Força final: deu trabalho, mas agora você tem passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que resolve exercícios da prova. Vai dar certo!