Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos \,1,2,3,4,5,6,7,8,9?”\n
Informações dadas e restrições importantes que extraí do enunciado:\n
  • Podemos usar apenas os algarismos \,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (ou seja, nenhum zero).\n
  • Queremos formar números de quatro algarismos (ou seja, a primeira posição não pode ser zero — aqui isso já está garantido porque zero não está disponível).\n
  • O número deve ser par, portanto o algarismo das unidades (última posição) tem de ser par.\n
  • Todos os quatro algarismos devem ser distintos (sem repetição).\n
    O objetivo final é contabilizar todas as sequências de quatro algarismos que satisfaçam essas condições.

Passo 2

Entendendo o que significa “par” e como isso afeta a contagem: um número inteiro é par se o seu último algarismo é par. Dos algarismos disponíveis \,1 a \,9, os algarismos pares são \,2,4,6,8. Portanto, a última posição (unidades) só pode ser escolhida entre esses \,4 algarismos. Isso reduz as possibilidades para a última casa e é um bom ponto para começar a contagem.

Passo 3

Explicando o princípio de contagem que vamos usar (produto de escolhas sequenciais): quando precisamos construir um objeto em etapas independentes (por exemplo, escolher algarismos para cada posição), e cada etapa tem um certo número de opções que não dependem de escolhas posteriores além das já feitas, o número total de objetos é o produto das opções de cada etapa. Aqui as etapas são: escolher o algarismo das unidades, escolher o algarismo das milhares, escolher o algarismo das centenas e finalmente escolher o algarismo das dezenas. Como há restrição de “distintos”, cada escolha reduz o número de opções disponíveis para as próximas etapas.

Passo 4

Contando passo a passo — primeiro escolha a unidade (última casa):\n
  • Opções para a unidade: os pares \,2,4,6,8, ou seja, \,4 opções.\n
    Vou anotar essa quantidade como \,4.

Passo 5

Agora a casa das milhares (primeira casa):\n
  • Depois de fixar a unidade, sobram \,8 algarismos disponíveis para a primeira casa. Explico: originalmente havíamos \,9 algarismos no total ( \,1 a \,9); um deles já foi usado na unidade, então restam \,8. Não há problema com “não poder ser zero” porque zero não está no conjunto. Portanto a primeira casa tem \,8 opções.\n
    Anotamos \,8 para a primeira casa.

Passo 6

Agora a casa das centenas (segunda posição, contanto da esquerda):\n
  • Já usei dois algarismos (um na unidade e outro na casa das milhares), então restam \,7 algarismos disponíveis. Como os algarismos devem ser distintos, a casa das centenas tem \,7 opções.

Passo 7

Finalmente, a casa das dezenas (terceira posição, contanto da esquerda):\n
  • Depois de três escolhas distintas, restam \,6 algarismos disponíveis. Portanto a casa das dezenas tem \,6 opções.

Passo 8

Aplicando o princípio multiplicativo (produto das escolhas): multiplicamos o número de opções de cada etapa para obter o total de números possíveis.\n
As opções foram: unidade \,4, milhares \,8, centenas \,7, dezenas \,6. Então o total é\n
4 \times 8 \times 7 \times 6.

Passo 9

Fazendo a conta com calma (para você poder replicar sem calculadora na prova):\n
Primeiro calcule 4\times8=32.\n
Depois calcule 7\times6=42.\n
Agora multiplique 32\times42.\n
Uma forma prática de multiplicar é quebrar: 32\times42 = 32\times(40+2) = 32\times40 + 32\times2 = 1280 + 64 = 1344.\n Portanto o total é \(\,1344.)

Passo 10

Interpretação final e verificação rápida: podemos também ver esse resultado como \,4 vezes a permutação de \,8 elementos tomados \,3 a \,3:\n
4 \times P(8,3) = 4 \times (8\cdot7\cdot6) = 4 \times 336 = 1344,
o que confirma o cálculo.

Resposta

\,1344

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