Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?
Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números pares de quatro algarismos distintos podemos formar usando os algarismos
?”\n
Informações dadas e restrições importantes que extraí do enunciado:\n
Informações dadas e restrições importantes que extraí do enunciado:\n
- Podemos usar apenas os algarismos
(ou seja, nenhum zero).\n - Queremos formar números de quatro algarismos (ou seja, a primeira posição não pode ser zero — aqui isso já está garantido porque zero não está disponível).\n
- O número deve ser par, portanto o algarismo das unidades (última posição) tem de ser par.\n
- Todos os quatro algarismos devem ser distintos (sem repetição).\n
O objetivo final é contabilizar todas as sequências de quatro algarismos que satisfaçam essas condições.
Passo 2
Entendendo o que significa “par” e como isso afeta a contagem: um número inteiro é par se o seu último algarismo é par. Dos algarismos disponíveis
a
, os algarismos pares são
. Portanto, a última posição (unidades) só pode ser escolhida entre esses
algarismos. Isso reduz as possibilidades para a última casa e é um bom ponto para começar a contagem.
Passo 3
Explicando o princípio de contagem que vamos usar (produto de escolhas sequenciais): quando precisamos construir um objeto em etapas independentes (por exemplo, escolher algarismos para cada posição), e cada etapa tem um certo número de opções que não dependem de escolhas posteriores além das já feitas, o número total de objetos é o produto das opções de cada etapa. Aqui as etapas são: escolher o algarismo das unidades, escolher o algarismo das milhares, escolher o algarismo das centenas e finalmente escolher o algarismo das dezenas. Como há restrição de “distintos”, cada escolha reduz o número de opções disponíveis para as próximas etapas.
Passo 4
Contando passo a passo — primeiro escolha a unidade (última casa):\n
- Opções para a unidade: os pares
, ou seja, opções.\n
Vou anotar essa quantidade como.
Passo 5
Agora a casa das milhares (primeira casa):\n
- Depois de fixar a unidade, sobram
algarismos disponíveis para a primeira casa. Explico: originalmente havíamos algarismos no total ( a ); um deles já foi usado na unidade, então restam . Não há problema com “não poder ser zero” porque zero não está no conjunto. Portanto a primeira casa tem opções.\n
Anotamospara a primeira casa.
Passo 6
Agora a casa das centenas (segunda posição, contanto da esquerda):\n
- Já usei dois algarismos (um na unidade e outro na casa das milhares), então restam
algarismos disponíveis. Como os algarismos devem ser distintos, a casa das centenas tem opções.
Passo 7
Finalmente, a casa das dezenas (terceira posição, contanto da esquerda):\n
- Depois de três escolhas distintas, restam
algarismos disponíveis. Portanto a casa das dezenas tem opções.
Passo 8
Aplicando o princípio multiplicativo (produto das escolhas): multiplicamos o número de opções de cada etapa para obter o total de números possíveis.\n
As opções foram: unidade , milhares
, centenas
, dezenas
. Então o total é\n
As opções foram: unidade
Passo 9
Fazendo a conta com calma (para você poder replicar sem calculadora na prova):\n
Primeiro calcule .\n
Depois calcule .\n
Agora multiplique .\n
Uma forma prática de multiplicar é quebrar: .)
Primeiro calcule
Depois calcule
Agora multiplique
Uma forma prática de multiplicar é quebrar: .)
Passo 10
Interpretação final e verificação rápida: podemos também ver esse resultado como
vezes a permutação de
elementos tomados
a
:\n
o que confirma o cálculo.