Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos podemos formar?

Passo 1

Temos os algarismos \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. A pergunta é: Quantos números de quatro algarismos podemos formar usando esses algarismos?
Antes de começar a contar, preciso escolher uma interpretação natural do enunciado (há ambiguidade comum: permitir ou não repetição de algarismos). Vou adotar a interpretação mais usual em provas deste tipo: os algarismos não se repetem (cada algarismo pode ser usado no máximo uma vez). Vou justificar: o enunciado lista os algarismos sem falar em repetição; frequentemente o objetivo é contar arranjos distintos, isto é, permutações de quatro algarismos diferentes escolhidos entre os nove. (Se fosse permitido repetir algarismos, o cálculo seria diferente — expliquei a escolha para você não se perder na prova.)

Passo 2

Conceito que vamos usar: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Ele diz: se um processo é formado por etapas em sequência e, para cada escolha da etapa anterior, a etapa seguinte tem um certo número fixo de opções, então o número total de possibilidades é o produto do número de opções de cada etapa.
Exemplo rápido e simples: se tenho 3 camisas e 2 calças, o número de “looks” é 3\times 2 = 6. Aqui cada escolha de camisa combina com todas as calças.

Passo 3

Aplicando à nossa situação (números de quatro algarismos sem repetição, usando apenas \{1,\dots,9\}):
  • Para o primeiro algarismo (milhares) posso escolher qualquer um dos 9 algarismos, pois \,0 não está na lista e todos os 9 são permitidos. Logo há 9 opções para a primeira posição.
  • Depois de escolher o primeiro algarismo, não posso repeti-lo. Para o segundo algarismo (centenas) sobram 8 algarismos disponíveis. Logo 8 opções para a segunda posição.
  • Para o terceiro algarismo (dezenas) sobram 7 opções.
  • Para o quarto algarismo (unidades) sobram 6 opções.
Pelo princípio do produto, o número total de números formados é
9 \times 8 \times 7 \times 6.

Passo 4

Faço as multiplicações passo a passo (para você poder repetir sem calculadora):
9 \times 8 = 72,
72 \times 7 = 504,
504 \times 6 = 3024.
Também podemos ver isso como uma permutação: escolher e ordenar 4 elementos entre 9. A fórmula é
P(9,4)=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!},
que ao calcular dá o mesmo resultado 3024. (Aqui n! significa fatorial: n!=n\cdot (n-1)\cdots 1.)

Passo 5

Pequena verificação por exemplo concreto: se eu escolher os algarismos 3,1,7,9 na ordem dada formo o número 3179. Cada escolha distinta de quatro algarismos e de sua ordem corresponde a um dos 3024 números contados acima — então o raciocínio bate com a intuição.

Resposta

3024

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