Considerando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 responda:
Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
Quantos números de quatro algarismos podemos formar?
Passo 1
Temos os algarismos
. A pergunta é: Quantos números de quatro algarismos podemos formar usando esses algarismos?
Antes de começar a contar, preciso escolher uma interpretação natural do enunciado (há ambiguidade comum: permitir ou não repetição de algarismos). Vou adotar a interpretação mais usual em provas deste tipo: os algarismos não se repetem (cada algarismo pode ser usado no máximo uma vez). Vou justificar: o enunciado lista os algarismos sem falar em repetição; frequentemente o objetivo é contar arranjos distintos, isto é, permutações de quatro algarismos diferentes escolhidos entre os nove. (Se fosse permitido repetir algarismos, o cálculo seria diferente — expliquei a escolha para você não se perder na prova.)
Passo 2
Conceito que vamos usar: princípio fundamental da contagem (regra do produto). Ele diz: se um processo é formado por etapas em sequência e, para cada escolha da etapa anterior, a etapa seguinte tem um certo número fixo de opções, então o número total de possibilidades é o produto do número de opções de cada etapa.
Exemplo rápido e simples: se tenho 3 camisas e 2 calças, o número de “looks” é
. Aqui cada escolha de camisa combina com todas as calças.
Passo 3
Aplicando à nossa situação (números de quatro algarismos sem repetição, usando apenas
):
- Para o primeiro algarismo (milhares) posso escolher qualquer um dos
algarismos, pois não está na lista e todos os são permitidos. Logo há opções para a primeira posição. - Depois de escolher o primeiro algarismo, não posso repeti-lo. Para o segundo algarismo (centenas) sobram
algarismos disponíveis. Logo opções para a segunda posição. - Para o terceiro algarismo (dezenas) sobram
opções. - Para o quarto algarismo (unidades) sobram
opções.
Pelo princípio do produto, o número total de números formados é
Passo 4
Faço as multiplicações passo a passo (para você poder repetir sem calculadora):
Também podemos ver isso como uma permutação: escolher e ordenar 4 elementos entre 9. A fórmula é
que ao calcular dá o mesmo resultado
. (Aqui
significa fatorial:
.)
Passo 5
Pequena verificação por exemplo concreto: se eu escolher os algarismos
na ordem dada formo o número
. Cada escolha distinta de quatro algarismos e de sua ordem corresponde a um dos
números contados acima — então o raciocínio bate com a intuição.