1. (FUVEST - SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
    a) 24
    b) 48
    c) 96
    d) 120
    e) 144

Passo 1

O enunciado pede: contar o número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal.\n
Informações dadas e úteis:
  • A palavra é formada pelas letras F, U, V, E, S, T (ou seja, 6 letras no total).
  • Todas as letras são distintas.
  • As vogais presentes são U e E (ou seja, 2 vogais).
  • Precisamos contar quantas permutações das 6 letras têm vogal na primeira posição e vogal na última posição.
    Não vou resolver aqui, só listei o que o problema pede e os dados que temos.

Passo 2

Ideia geral de contagem (princípio multiplicativo): quando uma construção se faz por etapas independentes, o número total de resultados é o produto do número de escolhas em cada etapa. Vou aplicar isso em duas etapas:
  1. Escolher qual vogal vai para a primeira e qual vai para a última posição.
  2. Permutar as letras restantes nas posições interiores (as 4 posições do meio).
    Antes de aplicar, explico com calma os conceitos que vou usar.

Passo 3

Explicação do princípio multiplicativo: se uma tarefa pode ser feita em duas etapas, a primeira de a maneiras e a segunda de b maneiras (independentemente da primeira), então a tarefa completa tem a\cdot b maneiras. Exemplo simples: escolher um chapéu entre 3 e uma camisa entre 4 3\cdot 4=12 combinações. Usarei essa regra para multiplicar número de escolhas das etapas.

Passo 4

Contagem das escolhas das vogais nas extremidades:
  • Para a primeira posição há 2 opções ( U ou E), ou seja 2 maneiras.
  • Depois de escolher a primeira vogal, para a última posição resta 1 vogal disponível, ou seja 1 maneira.
    Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de preencher as duas extremidades é
2\cdot 1 = 2.
Observação didática: aqui a ordem importa — por exemplo, colocar U na frente e E atrás é diferente de E na frente e U atrás — por isso multiplicamos 2 por 1 (e não combinamos sem ordem).

Passo 5

Contagem das permutações das letras restantes no interior:
Depois de fixar as extremidades com vogais, sobram 4 letras distintas: F, V, S, T. O número de maneiras de arranjar n objetos distintos em sequência é dado por n! (fatorial), definido como
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Aqui n=4, então
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24.
Explicação curta: isso conta todas as ordens possíveis das 4 letras do meio.

Passo 6

Combinação das etapas: pelo princípio multiplicativo, multiplicamos o número de maneiras de escolher as extremidades pelo número de maneiras de arranjar as 4 letras do meio. Assim o total é
2 \cdot 4! = 2 \cdot 24.
Calculemos:
2\cdot 24 = 48.

Passo 7

Verificação alternativa rápida (mesma ideia, só reescrita): escolher uma permutação ordenada das vogais é 2! maneiras (isto é 2), e as permutações das 4 restantes são 4!. Produto 2!\cdot 4! = 2\cdot 24 = 48. Confere com o cálculo anterior.

Resposta

b) 48

Exercícios relacionados