- (FUVEST - SP) O número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal é:
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
a) 24
b) 48
c) 96
d) 120
e) 144
Passo 1
O enunciado pede: contar o número de anagramas da palavra
que começam e terminam por vogal.\n
Informações dadas e úteis:
Informações dadas e úteis:
- A palavra é formada pelas letras
(ou seja, letras no total). - Todas as letras são distintas.
- As vogais presentes são
e (ou seja, vogais). - Precisamos contar quantas permutações das
letras têm vogal na primeira posição e vogal na última posição.
Não vou resolver aqui, só listei o que o problema pede e os dados que temos.
Passo 2
Ideia geral de contagem (princípio multiplicativo): quando uma construção se faz por etapas independentes, o número total de resultados é o produto do número de escolhas em cada etapa. Vou aplicar isso em duas etapas:
- Escolher qual vogal vai para a primeira e qual vai para a última posição.
- Permutar as letras restantes nas posições interiores (as
posições do meio).
Antes de aplicar, explico com calma os conceitos que vou usar.
Passo 3
Explicação do princípio multiplicativo: se uma tarefa pode ser feita em duas etapas, a primeira de
maneiras e a segunda de
maneiras (independentemente da primeira), então a tarefa completa tem
maneiras. Exemplo simples: escolher um chapéu entre
e uma camisa entre
dá
combinações. Usarei essa regra para multiplicar número de escolhas das etapas.
Passo 4
Contagem das escolhas das vogais nas extremidades:
- Para a primeira posição há
opções ( ou ), ou seja maneiras. - Depois de escolher a primeira vogal, para a última posição resta
vogal disponível, ou seja maneira.
Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de preencher as duas extremidades é
Observação didática: aqui a ordem importa — por exemplo, colocar
na frente e
atrás é diferente de
na frente e
atrás — por isso multiplicamos
por
(e não combinamos sem ordem).
Passo 5
Contagem das permutações das letras restantes no interior:
Depois de fixar as extremidades com vogais, sobram letras distintas:
. O número de maneiras de arranjar
objetos distintos em sequência é dado por
(fatorial), definido como
Depois de fixar as extremidades com vogais, sobram
Aqui
, então
Explicação curta: isso conta todas as ordens possíveis das
letras do meio.
Passo 6
Combinação das etapas: pelo princípio multiplicativo, multiplicamos o número de maneiras de escolher as extremidades pelo número de maneiras de arranjar as
letras do meio. Assim o total é
Calculemos:
Passo 7
Verificação alternativa rápida (mesma ideia, só reescrita): escolher uma permutação ordenada das vogais é
maneiras (isto é
), e as permutações das
restantes são
. Produto
. Confere com o cálculo anterior.
Resposta
b)