Considerando que o anulador L(D) de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+9 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5 x+\cos (8 x)+\operatorname{sen}(7 x)
Encontre o anulador da parte homogênea dessa EDO e o avalie no ponto D=2.
Coloque sua resposta aqui: L(D=2)=

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
2\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+9\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-5x+\cos(8x)+\operatorname{sen}(7x).
O que é pedido:
  • Encontrar o anulador da parte homogênea dessa EDO (ou seja, o operador diferencial associado à parte homogênea).
  • Avaliar esse anulador no ponto D=2, isto é, calcular L(2).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes da parte homogênea: 2 no termo de terceira derivada e 9 no termo de segunda derivada.
  • A parte direita (termos não-homogêneos) existe, mas aqui só interessa a identificação do operador da parte homogênea e sua avaliação em D=2.

Passo 2

Explicando o que é o anulador da parte homogênea (didaticamente e sem formalismo pesado):
  • Em notação de operadores diferenciais, define-se D=\dfrac{d}{dx}.
  • O operador diferencial associado à parte homogênea é o polinômio em D que aparece multiplicando y na parte esquerda da EDO.
  • Portanto o anulador (operador da parte homogênea) é
L(D)=2D^{3}+9D^{2}.
Aqui D^{3} significa aplicar \dfrac{d}{dx} três vezes e D^{2} duas vezes; os coeficientes 2 e 9 vêm diretamente da equação dada.

Passo 3

Uma observação útil (ensina a manipular operadores): podemos fatorar L(D) para ver sua estrutura:
L(D)=2D^{3}+9D^{2}=D^{2}(2D+9).
Isso mostra que D=0 é raiz dupla do polinômio operador e D=-\dfrac{9}{2} é outra raiz simples. Essa informação é útil quando se resolve a homogênea, mas não é necessária para avaliar L em um número.

Passo 4

Agora avaliamos o operador no ponto D=2 substituindo D por 2 no polinômio:
L(2)=2\cdot 2^{3}+9\cdot 2^{2}.
Calcule passo a passo:
2^{3}=8,\qquad 2^{2}=4,
2\cdot 8=16,\qquad 9\cdot 4=36,
L(2)=16+36=52.

Resposta

L(D=2)=52

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