Considerando que o anulador
de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Encontre o anulador da parte homogênea dessa EDO e o avalie no ponto
.
Coloque sua resposta aqui:
□
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
O que é pedido:
- Encontrar o anulador da parte homogênea dessa EDO (ou seja, o operador diferencial associado à parte homogênea).
- Avaliar esse anulador no ponto
, isto é, calcular .
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficientes da parte homogênea:
no termo de terceira derivada e no termo de segunda derivada. - A parte direita (termos não-homogêneos) existe, mas aqui só interessa a identificação do operador da parte homogênea e sua avaliação em
.
Passo 2
Explicando o que é o anulador da parte homogênea (didaticamente e sem formalismo pesado):
- Em notação de operadores diferenciais, define-se
. - O operador diferencial associado à parte homogênea é o polinômio em
que aparece multiplicando na parte esquerda da EDO. - Portanto o anulador (operador da parte homogênea) é
Aqui
significa aplicar
três vezes e
duas vezes; os coeficientes
e
vêm diretamente da equação dada.
Passo 3
Uma observação útil (ensina a manipular operadores): podemos fatorar
para ver sua estrutura:
Isso mostra que
é raiz dupla do polinômio operador e
é outra raiz simples. Essa informação é útil quando se resolve a homogênea, mas não é necessária para avaliar
em um número.
Passo 4
Agora avaliamos o operador no ponto
substituindo
por
no polinômio:
Calcule passo a passo:
Resposta
L(D=2)=52