Considerando que o anulador
de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO,
, e a avalie para
e todos os seus coeficientes constantes iguais a
Coloque sua resposta aqui:
□
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
Pede-se:
- encontrar a solução geral da parte homogênea,
; - avaliar essa solução em
tomando todos os coeficientes constantes iguais a .
Informações relevantes dadas:
- a parte homogênea é obtida anulando o lado direito, ou seja considera-se a EDO homogênea
. - devemos depois substituir
e (os indicados).
Passo 2
Método para resolver a parte homogênea: para EDOs lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. Substituindo numa equação homogênea de ordem
obtemos um polinômio em
chamado equação característica; as raízes desse polinômio determinam as soluções elementares.
Aplicando isso à nossa homogênea
: substitui-se
. Como
,
,
, obtemos a equação característica
Passo 3
Resolver a equação característica. Fatorando:
As raízes são:
Regra importante (explicação didática): se
é raiz simples dá-se a solução
. Se
tem multiplicidade
, as soluções independentes associadas são
No nosso caso, para
(multiplicidade 2) obtemos
e
. Para
obtemos
.
Passo 4
Escrevendo a solução geral da parte homogênea com constantes arbitrárias
:
Aqui
são constantes reais determinadas por condições iniciais; a forma vem diretamente das raízes e das regras para multiplicidade explicadas no passo anterior.
Passo 5
Agora avaliamos em
tomando todas as constantes iguais a
, isto é
. Substituindo em
:
Simplificando o expoente:
. Logo
Se for desejado um valor numérico aproximado,
, então