Considerando que o anulador L(D) de uma função é o operador diferencial de menor grau que anula a função, responda às seguintes questões:
Considere a seguinte EDO linear com coeficientes constantes:
2 \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+9 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-5 x+\cos (8 x)+\operatorname{sen}(7 x)
Encontre a solução geral da parte homogênea dessa EDO, y_{c}, e a avalie para x=4 e todos os seus coeficientes constantes iguais a k_{i}=3
Coloque sua resposta aqui: y_{p}(x=4)=

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear com coeficientes constantes
2\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+9\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=-5x+\cos(8x)+\operatorname{sen}(7x).
Pede-se:
  • encontrar a solução geral da parte homogênea, y_{c};
  • avaliar essa solução em x=4 tomando todos os coeficientes constantes iguais a k_{i}=3.
Informações relevantes dadas:
  • a parte homogênea é obtida anulando o lado direito, ou seja considera-se a EDO homogênea \,2y''' + 9y''=0.
  • devemos depois substituir x=4 e C_1=C_2=C_3=3 (os k_i indicados).

Passo 2

Método para resolver a parte homogênea: para EDOs lineares com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma y=e^{r x}. Substituindo numa equação homogênea de ordem n obtemos um polinômio em r chamado equação característica; as raízes desse polinômio determinam as soluções elementares.
Aplicando isso à nossa homogênea \,2y''' + 9y''=0: substitui-se y=e^{r x}. Como y'=r e^{r x}, y''=r^{2}e^{r x}, y'''=r^{3}e^{r x}, obtemos a equação característica
2r^{3}+9r^{2}=0.

Passo 3

Resolver a equação característica. Fatorando:
2r^{3}+9r^{2}=r^{2}(2r+9)=0.
As raízes são:
r=0\quad\text{(multiplicidade 2)},\qquad r=-\tfrac{9}{2}\quad\text{(multiplicidade 1)}.
Regra importante (explicação didática): se r é raiz simples dá-se a solução e^{r x}. Se r tem multiplicidade m, as soluções independentes associadas são
e^{r x},\quad x e^{r x},\quad x^{2} e^{r x},\\ \ldots,\\ x^{m-1} e^{r x}.
No nosso caso, para r=0 (multiplicidade 2) obtemos e^{0x}=1 e x. Para r=-\tfrac{9}{2} obtemos e^{-9x/2}.

Passo 4

Escrevendo a solução geral da parte homogênea com constantes arbitrárias C_1,C_2,C_3:
y_{c}(x)=C_{1}+C_{2}\,x+C_{3}\,e^{-9x/2}.
Aqui C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais determinadas por condições iniciais; a forma vem diretamente das raízes e das regras para multiplicidade explicadas no passo anterior.

Passo 5

Agora avaliamos em x=4 tomando todas as constantes iguais a k_{i}=3, isto é C_{1}=C_{2}=C_{3}=3. Substituindo em y_{c}(x):
y_{c}(4)=3 + 3\cdot 4 + 3\,e^{-9\cdot 4/2}.
Simplificando o expoente: 9\cdot 4/2=18. Logo
y_{c}(4)=3+12+3e^{-18}=15+3e^{-18}.
Se for desejado um valor numérico aproximado, e^{-18}\approx 1{,}522997974\cdot 10^{-8}, então
y_{c}(4)\approx 15{,}00000004568994.

Resposta

y_{p}(x=4)=15+3e^{-18}

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