Considerando autovalores e autovetores, responda ao que se pede:
Considere a transformação dado por . Tomando a base canônica do , mostre que não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a transformação linear definida por
não é diagonalizável na base canônica .
Para isso, vamos usar o fato de que um operador em é diagonalizável se, e somente se, o espaço de autovetores associado a cada autovalor tem dimensão igual à multiplicidade algébrica de .
Passo 2
Na base canônica , as colunas da matriz de são e . Calculando:
Portanto,
]
Passo 3
O polinômio característico de é
Logo, o único autovalor é com multiplicidade algébrica .
]
Passo 4
Para encontrar o espaço próprio associado a , resolvemos
Da primeira linha vem y=0 e da segunda não surge restrição adicional. Assim, os vetores próprios têm a forma
v = x 0 (xneq 0),
e o espaço próprio é de dimensão 1.
]
Passo 5
Como a multiplicidade geométrica de lambda=1 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de R^2 formada por autovetores de T. Pelo critério de diagonalização, T não é diagonalizável.