Considerando autovalores e autovetores, responda ao que se pede:
Considere a transformação T: R^2 longrightarrow R^2 dado por T(x, y)=(x+y, y). Tomando a base canônica B do R^2, mostre que T não é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a transformação linear
;Tcolon R^2toR^2 definida por
T(x,y)=(x+y,y)
não é diagonalizável na base canônica B.
Para isso, vamos usar o fato de que um operador em R^2 é diagonalizável se, e somente se, o espaço de autovetores associado a cada autovalor lambda tem dimensão igual à multiplicidade algébrica de lambda.

Passo 2

Na base canônica B=(1,0),(0,1), as colunas da matriz A de T são T(1,0) e T(0,1). Calculando:
T(1,0)=(1+0,0)=(1,0), T(0,1)=(0+1,1)=(1,1)
Portanto,
A = 1 & 1 [6pt] 0 & 1
]

Passo 3

O polinômio característico de A é
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det1-lambda & 1 [3pt] 0 & 1-lambda =(1-lambda)^2
Logo, o único autovalor é lambda=1 com multiplicidade algébrica 2.
]

Passo 4

Para encontrar o espaço próprio associado a lambda=1, resolvemos
(A - I)v = 0 ;Longrightarrow; 0 & 1 [3pt] 0 & 0 x y = 0 0
Da primeira linha vem y=0 e da segunda não surge restrição adicional. Assim, os vetores próprios têm a forma
v = x 0 (xneq 0),
e o espaço próprio é de dimensão 1.
]

Passo 5

Como a multiplicidade geométrica de lambda=1 (que é 1) é menor que sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de R^2 formada por autovetores de T. Pelo critério de diagonalização, T não é diagonalizável.

Resposta

A transformação T não é diagonalizável.

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