Considerando autovalores e autovetores, responda ao que se pede:
Considere:
[ll 0 & 2 2 & 3 ]
Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de A e A^-1. O que você pode dizer ao comparar os autovetores?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 22 & 3
e pede os autovalores e autovetores de A e de A^-1. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para achar os autovalores de A, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores, inverter A explicitamente e depois usar a propriedade de que A^-1 mantém os mesmos autovetores com autovalores recíprocos.

Passo 2

Para achar os autovalores de A calculamos a equação característica:
det(A-lambda I) =det-lambda & 22 & 3-lambda =(-lambda)(3-lambda)-4 =lambda^2-3lambda-4
Igualando a zero, temos lambda^2-3lambda-4=0.

Passo 3

Resolvendo lambda^2-3lambda-4=0 pela fórmula de Bhaskara,
lambda = 3pmraiz9+162 = 3pm52,
logo
lambda1 = 4, lambda2 = -1

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0:
  • Se lambda1=4, (A-4I)=-4 & 22 & -1, a equação -4x+2y=0 y=2x. Um autovetor é v1=(1,2)^T.
  • Se lambda2=-1, (A+I)=1 & 22 & 4, a equação x+2y=0 y=-tfrac12x. Um autovetor é v2=(2,-1)^T.

Passo 5

Calculamos A^-1. O determinante de A é
det(A) = 0 cdot 3 - 2 cdot 2 = -4,
portanto
A^-1 = 1-4 3 & -2 -2 & 0 = -tfrac34 & tfrac12[6pt]tfrac12 & 0 ]

Passo 6

Por teoria, os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A e os autovetores são os mesmos. Logo,
autovalores de A^-1: mu1 = tfrac14, mu2 = -1,
com os mesmos autovetores v1=(1,2)^T e v2=(2,-1)^T.

Passo 7

Comparando, vemos que os autovetores de A e de A^-1 coincidem. A inversão troca apenas os autovalores pelos seus recíprocos, sem alterar as direções (autovetores).

Resposta

Autovalores de A:
lambda1=4 com autovetor (1,2)^T,
lambda2=-1 com autovetor (2,-1)^T.
Autovalores de A^-1:
mu1=tfrac14 com autovetor (1,2)^T,
mu2=-1 com autovetor (2,-1)^T.
Os autovetores de A e de A^-1 são exatamente os mesmos.

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