Considerando autovalores e autovetores, responda ao que se pede:
Considere:
Calcule os autovalores e autovetores correspondentes de A e A^-1. O que você pode dizer ao comparar os autovetores?
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & 22 & 3
e pede os autovalores e autovetores de A e de A^-1. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para achar os autovalores de A, resolver (A-lambda I)v=0 para obter os autovetores, inverter A explicitamente e depois usar a propriedade de que A^-1 mantém os mesmos autovetores com autovalores recíprocos.
Passo 2
Para achar os autovalores de A calculamos a equação característica:
Por teoria, os autovalores de A^-1 são os recíprocos dos de A e os autovetores são os mesmos. Logo,
autovalores de A^-1: mu1 = tfrac14, mu2 = -1,
com os mesmos autovetores v1=(1,2)^T e v2=(2,-1)^T.
Passo 7
Comparando, vemos que os autovetores de A e de A^-1 coincidem. A inversão troca apenas os autovalores pelos seus recíprocos, sem alterar as direções (autovetores).
Resposta
Autovalores de A: lambda1=4 com autovetor (1,2)^T, lambda2=-1 com autovetor (2,-1)^T.
Autovalores de A^-1: mu1=tfrac14 com autovetor (1,2)^T, mu2=-1 com autovetor (2,-1)^T.
Os autovetores de A e de A^-1 são exatamente os mesmos.