Resolva as seguintes EDOs pelo método da separação:
y^{\prime}=-\frac{y}{x} sendo y(1)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = -\frac{y}{x},
usando o método da separação de variáveis, com a condição inicial y(1)=1. Vamos separar y e x em lados opostos e integrar.

Passo 2

Separe as variáveis:
\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}\,dy = -\frac{1}{x}\,dx.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = -\int \frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert y\rvert = -\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Use propriedades dos logaritmos para isolar y. Somando \ln\lvert x\rvert em ambos os lados:
\ln\lvert y\rvert + \ln\lvert x\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\lvert x\,y\rvert = C \quad\Longrightarrow\quad \lvert x\,y\rvert = e^C.
Definindo K = \pm e^C, obtemos a solução geral
y = \frac{K}{x}.

Passo 4

Aplique a condição inicial y(1)=1:
1 = y(1) = \frac{K}{1} \quad\Longrightarrow\quad K = 1.
Logo, a solução particular que satisfaz y(1)=1 é
y = \frac{1}{x}.

Resposta

\displaystyle y = \frac{1}{x}.

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