Mostre que a função
tem um mínimo local na origem.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A pergunta é: mostrar que
tem um mínimo local na origem
.
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de (somatório de potências quartas de
e
).
O que se pede: provar que existe uma vizinhança de onde
para todos os pontos dessa vizinhança (com desigualdade estrita para pontos diferentes da origem).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de
O que se pede: provar que existe uma vizinhança de
Passo 2
Definição clara do que significa “mínimo local” (aula rápida): diremos que
é um mínimo local de
se existe
tal que, para todo
com
, vale
Aqui
é a norma euclidiana de
e mede a distância até a origem. Em palavras: dentro de alguma bola centrada na origem, a origem dá o menor valor de
. Para provar isso precisamos encontrar (ou mostrar que existe) algum raio
que faça a desigualdade valer.
Passo 3
Observação simples e crucial sobre potências pares (aula de intuição): para qualquer número real
temos
, porque elevar ao quarto potencia resulta sempre em número não negativo (mesmo se
for negativo, o sinal desaparece). Assim, para quaisquer
vale
Somando essas duas desigualdades obtemos
Portanto
para todo
.
Passo 4
Valor da função na origem e consequência imediata (ligando definição): calculamos
Como vimos no passo anterior
para todo
, segue que para qualquer ponto
vale
Isto mostra que a origem não só é um mínimo local, como na verdade é um mínimo global (o menor valor de
em todo
é
, alcançado apenas em
).
Passo 5
Mostrando explicitamente a existência de um raio
(rigor para a definição): note que, para qualquer
, pelo que já vimos
(estritamente maior que zero porque pelo menos um dos termos é positivo). Logo, se escolhermos qualquer
teremos que, para todo
com
, vale
Portanto existe (na verdade, qualquer)
que satisfaz a definição de mínimo local. Conclusão:
é mínimo local de
.
Passo 6
Comentário didático sobre o teste da segunda derivada (por que não usá-lo aqui): se quiséssemos usar derivadas, o gradiente e a hessiana são
No ponto
temos
e
é a matriz nula. O teste da segunda derivada para extremos usa a definitude da hessiana; aqui a hessiana em
é neutra (não é definida positiva estrita), então esse teste seria inconclusivo. Por isso é melhor e mais simples usar a observação direta sobre potências pares que fizemos acima. Exemplo análogo em uma variável:
tem mínimo em
embora
.]
Resposta
A origem
é um mínimo local de
; de fato
para todo
, logo a origem é mínimo (até global).