Mostre que a função f(x, y)=x^{4}+y^{4} tem um mínimo local na origem.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=x^{4}+y^{4}.
A pergunta é: mostrar que f tem um mínimo local na origem (0,0).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de f (somatório de potências quartas de x e y).
O que se pede: provar que existe uma vizinhança de (0,0) onde f(x,y)\ge f(0,0) para todos os pontos dessa vizinhança (com desigualdade estrita para pontos diferentes da origem).

Passo 2

Definição clara do que significa “mínimo local” (aula rápida): diremos que (0,0) é um mínimo local de f se existe r>0 tal que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<r, vale
f(x,y)\ge f(0,0).
Aqui \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a norma euclidiana de (x,y) e mede a distância até a origem. Em palavras: dentro de alguma bola centrada na origem, a origem dá o menor valor de f. Para provar isso precisamos encontrar (ou mostrar que existe) algum raio r>0 que faça a desigualdade valer.

Passo 3

Observação simples e crucial sobre potências pares (aula de intuição): para qualquer número real t temos t^{4}\ge 0, porque elevar ao quarto potencia resulta sempre em número não negativo (mesmo se t for negativo, o sinal desaparece). Assim, para quaisquer x,y\in\mathbb{R} vale
x^{4}\ge 0,\qquad y^{4}\ge 0.
Somando essas duas desigualdades obtemos
x^{4}+y^{4}\ge 0.
Portanto f(x,y)\ge 0 para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2.

Passo 4

Valor da função na origem e consequência imediata (ligando definição): calculamos
f(0,0)=0^{4}+0^{4}=0.
Como vimos no passo anterior f(x,y)\ge 0 para todo (x,y), segue que para qualquer ponto (x,y) vale
f(x,y)\ge f(0,0).
Isto mostra que a origem não só é um mínimo local, como na verdade é um mínimo global (o menor valor de f em todo \mathbb{R}^2 é 0, alcançado apenas em (0,0)).

Passo 5

Mostrando explicitamente a existência de um raio r>0 (rigor para a definição): note que, para qualquer (x,y)\neq(0,0), pelo que já vimos x^{4}+y^{4}>0 (estritamente maior que zero porque pelo menos um dos termos é positivo). Logo, se escolhermos qualquer r>0 teremos que, para todo (x,y) com 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<r, vale
f(x,y)=x^{4}+y^{4}>0=f(0,0).
Portanto existe (na verdade, qualquer) r>0 que satisfaz a definição de mínimo local. Conclusão: (0,0) é mínimo local de f.

Passo 6

Comentário didático sobre o teste da segunda derivada (por que não usá-lo aqui): se quiséssemos usar derivadas, o gradiente e a hessiana são
\nabla f(x,y)=(4x^{3},\,4y^{3}),\qquad H_f(x,y)=\begin{pmatrix}12x^{2} & 0\\[4pt] 0 & 12y^{2}\end{pmatrix}.
No ponto (0,0) temos \nabla f(0,0)=(0,0) e H_f(0,0) é a matriz nula. O teste da segunda derivada para extremos usa a definitude da hessiana; aqui a hessiana em (0,0) é neutra (não é definida positiva estrita), então esse teste seria inconclusivo. Por isso é melhor e mais simples usar a observação direta sobre potências pares que fizemos acima. Exemplo análogo em uma variável: g(x)=x^{4} tem mínimo em 0 embora g''(0)=0.]

Resposta

A origem (0,0) é um mínimo local de f; de fato f(x,y)\ge 0=f(0,0) para todo (x,y), logo a origem é mínimo (até global).

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