Considerando caminhos diferentes de aproximaçäo, mostre que as funçōes nos Exercicios 41 - 48 não têmm limite quando (x, y) -> (0, 0).
h(x, y) = x^2 * y / (x^4 + y^2)

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para mostrar que a função não tem limite quando se aproxima de . Vamos usar diferentes caminhos de aproximação para isso. Vamos precisar entender um pouco sobre limites em várias variáveis e como diferentes caminhos podem influenciar o resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um caminho simples para nos aproximarmos de . Vamos tentar o eixo . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite da função é .

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho, por exemplo, a linha . Substituindo na função:
Assim, ao nos aproximarmos de pelo caminho , o limite da função é .

Passo 4

Observamos que os limites obtidos pelos dois caminhos diferentes são diferentes: pelo eixo o limite é e pelo caminho o limite é . Isso significa que a função não tem um único limite em , já que o valor do limite depende do caminho seguido para se aproximar do ponto.

Resposta

Portanto, como os limites obtidos por diferentes caminhos são diferentes, concluímos que a função não possui limite quando .

Exercícios relacionados