. . Determine o vetor tangente unitário
no ponto com valor de parâmetro dado
.
Passo 1
Vamos resolver o primeiro exercício. Temos um vetor posição definido por
O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário
nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e então normalizar esse vetor derivada.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de
em relação a
:
Passo 3
Calculando cada derivada individualmente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então,
Passo 4
Agora, avaliamos
no ponto
:
Passo 5
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Passo 6
Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo exercício. Temos um vetor posição definido por
Queremos encontrar o vetor tangente unitário
nesse ponto. Precisamos calcular a derivada de
em relação a
e depois normalizar esse vetor derivada.
Passo 8
Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de
em relação a
:
Passo 9
Calculando cada derivada individualmente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então,
Passo 10
Agora, avaliamos
no ponto
:
Passo 11
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Passo 12
Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
Passo 13
Finalmente, vamos resolver o terceiro exercício. Temos um vetor posição definido por
O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário
nesse ponto. Precisamos calcular a derivada de
em relação a
e então normalizar esse vetor derivada.
Passo 14
Primeiro, calculamos a derivada de cada componente de
em relação a
:
Passo 15
Calculando cada derivada individualmente:
- Para a primeira componente:
- Para a segunda componente:
- Para a terceira componente:
Então,
Passo 16
Agora, avaliamos
no ponto
:
Sabemos que
Sabemos que
Substituindo:
Passo 17
Para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Primeiro, calculamos a norma de
:
Passo 18
Finalmente, o vetor tangente unitário é dado por:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto
é