A função
possui derivada em algum ponto? Justifique.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a função
e queremos saber se essa função possui derivada em algum ponto. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de derivabilidade de funções de variável complexa, especialmente utilizando as equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar se uma função é diferenciável no contexto complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui,
é um número complexo, que pode ser escrito como
, onde
e
são números reais e
é a unidade imaginária. Assim,
representa a parte imaginária de
, ou seja,
.
Passo 3
A função
pode ser expressa em termos das partes real e imaginária como
. Isso significa que na forma
, temos:
Passo 4
Para verificar se
é diferenciável em algum ponto, usamos as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para que
seja diferenciável em um ponto, devem ser satisfeitas:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 6
Agora, substituímos nas Equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação
é sempre falsa, o que significa que as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto do plano complexo.
Resposta
A função
não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo, pois não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em nenhum lugar.