A função f(z) = Im(z) possui derivada em algum ponto? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a função e queremos saber se essa função possui derivada em algum ponto. Para isso, vamos trabalhar com os conceitos de derivabilidade de funções de variável complexa, especialmente utilizando as equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar se uma função é diferenciável no contexto complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, é um número complexo, que pode ser escrito como , onde e são números reais e é a unidade imaginária. Assim, representa a parte imaginária de , ou seja, .

Passo 3

A função pode ser expressa em termos das partes real e imaginária como . Isso significa que na forma , temos:

Passo 4

Para verificar se é diferenciável em algum ponto, usamos as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, para que seja diferenciável em um ponto, devem ser satisfeitas:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 6

Agora, substituímos nas Equações de Cauchy-Riemann:
A primeira equação é sempre falsa, o que significa que as condições de Cauchy-Riemann não são satisfeitas em nenhum ponto do plano complexo.

Resposta

A função não possui derivada em nenhum ponto do plano complexo, pois não satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em nenhum lugar.

Exercícios relacionados