Mostre, diretamente da definição, que a função f(z) = z barra não é derivável em nenhum ponto.

Passo 1

Vamos lá! Esse exercício pede para a gente mostrar, usando a definição, que a função não tem derivada em nenhum ponto. A matéria aqui é Análise Complexa, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções complexas. Para resolver isso, vamos precisar da definição de derivada no contexto dos números complexos e aplicar essa definição à função .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada para funções de uma variável complexa. Dizemos que a função é derivável em um ponto se o limite
existe e é o mesmo independentemente da direção pela qual se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função . Seja e , onde e são números reais que tendem a zero.

Passo 4

Calculamos :

Passo 5

Calculamos :

Passo 6

Agora, formamos a diferença dividida pela variação :

Passo 7

Para encontrar o limite conforme , precisamos verificar se esse quociente tem o mesmo valor independentemente de como se aproxima de zero. Vamos avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.

Passo 8

Se se aproxima de zero ao longo do eixo real ( ), então:
Então o limite é 1.

Passo 9

Se se aproxima de zero ao longo do eixo imaginário ( ), então:
Então o limite é -1.

Passo 10

Como os limites são diferentes quando nos aproximamos de diferentes direções (1 e -1), o limite geral não existe. Portanto, a função não é derivável em nenhum ponto .

Resposta

A função não é derivável em nenhum ponto do plano complexo.

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