Mostre, diretamente da definição, que a função não é derivável em nenhum ponto.
Passo 1
Vamos lá! Esse exercício pede para a gente mostrar, usando a definição, que a função não tem derivada em nenhum ponto. A matéria aqui é Análise Complexa, especificamente o conceito de diferenciabilidade de funções complexas. Para resolver isso, vamos precisar da definição de derivada no contexto dos números complexos e aplicar essa definição à função .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição de derivada para funções de uma variável complexa. Dizemos que a função é derivável em um ponto se o limite
existe e é o mesmo independentemente da direção pela qual se aproxima de zero.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função . Seja e , onde e são números reais que tendem a zero.
Passo 4
Calculamos :
Passo 5
Calculamos :
Passo 6
Agora, formamos a diferença dividida pela variação :
Passo 7
Para encontrar o limite conforme , precisamos verificar se esse quociente tem o mesmo valor independentemente de como se aproxima de zero. Vamos avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos.
Passo 8
Se se aproxima de zero ao longo do eixo real (), então:
Então o limite é 1.
Passo 9
Se se aproxima de zero ao longo do eixo imaginário (), então:
Então o limite é -1.
Passo 10
Como os limites são diferentes quando nos aproximamos de diferentes direções (1 e -1), o limite geral não existe. Portanto, a função não é derivável em nenhum ponto .
Resposta
A função não é derivável em nenhum ponto do plano complexo.