Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos exercícios 41-48 não têm limite quando
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe
para a função
para a função
Isso envolve conceito de limite em duas variáveis e o fato de que, se o limite existisse, o valor ao longo de qualquer caminho de aproximação à origem teria de ser o mesmo.
Passo 2
Segundo a definição de limite em
, se
existe, então para todo caminho com
devemos ter
. A estratégia clássica é escolher caminhos retas do tipo
existe, então para todo caminho
com
fixo, e verificar se o limite depende de
.
Passo 3
Substituindo
em
temos
Aqui simplificamos
em numerador e denominador (para
e
).
Passo 4
Agora fazemos
em
Este valor depende de
. Por exemplo:
,
enquanto
.
Como obtemos limites diferentes ao longo de dois caminhos, concluímos que o limite geral não existe.
enquanto
Como obtemos limites diferentes ao longo de dois caminhos, concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
Não existe
.