Considerando caminhos diferentes de aproximação, mostre que as funções nos exercícios 41-48 não têm limite quando
(x, y) (0,0).
g(x, y)=x^2-yx-y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
para a função
g(x,y)=x^2-y,x-y,
Isso envolve conceito de limite em duas variáveis e o fato de que, se o limite existisse, o valor ao longo de qualquer caminho de aproximação à origem teria de ser o mesmo.

Passo 2

Segundo a definição de limite em R^2, se
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=L
existe, então para todo caminho (x(t),y(t)) com limtto0(x(t),y(t))=(0,0) devemos ter limtto0g(x(t),y(t))=L. A estratégia clássica é escolher caminhos retas do tipo
y= m,x,
com m fixo, e verificar se o limite depende de m.

Passo 3

Substituindo y=mx em g(x,y) temos
gl(x,mxr) =x^2 - m x,x - m x, =x,(x - m),x(1 - m), =x - m1 - m
Aqui simplificamos x em numerador e denominador (para xneq0 e mneq1).

Passo 4

Agora fazemos xto0 em
gl(x,mxr)=x - m1 - m;longrightarrow;0 - m1 - m =-m1-m
Este valor depende de m. Por exemplo:
m=0implies -tfrac01=0,
enquanto
m=tfrac12implies -tfrac1/21/2=-1.
Como obtemos limites diferentes ao longo de dois caminhos, concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

Não existe lim(x,y)to(0,0)g(x,y).

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