Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral da função
f(x, y, z)=x y sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies z=x^2+y^2 e z=4, restrito ao primeiro octante. OBS: Lembre-se de usar integração por substituição u= \operatorname{sen}(\theta) \mathrm{e} d u=\cos (\theta) d \theta).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=xy sobre o volume limitado por z=x^2+y^2 e z=4 no primeiro octante, usando coordenadas cilíndricas e a substituição u=sin(theta), du=cos(theta),dtheta.

Passo 2

Na coordenada cilíndrica fazemos as mudanças x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o Jacobiano é r.
A região em coordenadas (r,theta,z) fica com thetain[0,pi/2] (1º octante), rin[0,2] (pois em z=4 r^2=4) e zin[r^2,4].

Passo 3

O integrando fica xy=r^2costhetasintheta e o elemento de volume dV=r,dr,dtheta,dz, logo formamos
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2integralz=r^2^4r^2costhetasintheta;r,dz,dr,dtheta = integral0^pi/2integral0^2integralr^2^4r^3costhetasintheta,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z, que só contribui com um fator 4-r^2:
integral0^2integral0^pi/2(4-r^2),r^3costhetasintheta,dtheta,dr

Passo 5

Na ordem dr temos
integral0^2(4r^3 - r^5),dr = l[r^4 - tfracr^66r]0^2 = 16 - tfrac646 = tfrac163

Passo 6

Sobrou integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta. Usando u=sintheta, du=costheta,dtheta, quando theta=0 u=0 e theta=pi/2 u=1,
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta = integral0^1u,du = tfrac12

Passo 7

Multiplicando tudo ficamos com tfrac163times tfrac12=tfrac83

Resposta

83

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