Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral da função
sobre o volume do sólido limitado pelas superfícies
e
, restrito ao primeiro octante. OBS: Lembre-se de usar integração por substituição
\operatorname{sen}(\theta) \mathrm{e} d u=\cos (\theta) d \theta).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre o volume limitado por
e
no primeiro octante, usando coordenadas cilíndricas e a substituição
,
.
Passo 2
Na coordenada cilíndrica fazemos as mudanças
,
,
e o Jacobiano é
.
A região em coordenadas fica com
(1º octante),
(pois em
dá
) e
.
A região em coordenadas
Passo 3
O integrando fica
e o elemento de volume
, logo formamos
Passo 4
Integramos primeiro em
, que só contribui com um fator
:
Passo 5
Na ordem
temos
Passo 6
Sobrou
. Usando
,
, quando
e
,
Passo 7
Multiplicando tudo ficamos com