Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que os limites dos exercícios a e b não existem.
\lim _{x \rightarrow+\infty, y \rightarrow 0} \frac{x+y}{x y}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{x\to+\infty,\;y\to0}\frac{x+y}{xy}
não existe. As informações relevantes que vamos usar são:
  • A expressão da função é \dfrac{x+y}{xy}.
  • As variáveis são levadas simultaneamente a x\to+\infty e y\to0.
  • Para provar que um limite de duas variáveis não existe basta encontrar duas maneiras (dois caminhos) de aproximar os pontos finais que dão resultados diferentes.

Passo 2

Primeiro faça uma simplificação algébrica que deixa a análise bem clara. Note que
\frac{x+y}{xy}=\frac{x}{xy}+\frac{y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}.
Explicando devagar: dividir x por xy \tfrac{1}{y}, e dividir y por xy \tfrac{1}{x}. Então a função é a soma de \tfrac{1}{y} com \tfrac{1}{x}.
Agora uma observação importante de limite: quando x\to+\infty temos \tfrac{1}{x}\to0. Assim, qualquer comportamento do quociente ao fazer x\to+\infty e y\to0 ficará dominado por \tfrac{1}{y} (porque \tfrac{1}{x} vira negligível). Portanto o valor limite (se existir) será controlado por como y tende a 0.

Passo 3

Escolha um primeiro caminho: faça x=n e y=\dfrac{1}{n} com n\to\infty. Assim x\to+\infty e y\to0^+. Pela forma simplificada,
\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=n+\frac{1}{n}.
Quando n\to\infty isso tende a +\infty. Ou seja, ao aproximar com y>0 por y=1/x obtemos divergência para +\infty.

Passo 4

Escolha um segundo caminho diferente: faça x=n e y=-\dfrac{1}{n} com n\to\infty. Assim x\to+\infty e y\to0^-. Novamente,
\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=-n+\frac{1}{n}.
Quando n\to\infty isso tende a -\infty. Ou seja, aproximando com y<0 por y=-1/x obtemos divergência para -\infty.

Passo 5

Interpretando os passos 3 e 4: encontramos duas sequências (dois caminhos) que respeitam x\to+\infty e y\to0, mas que dão comportamentos limites diferentes (um vai para +\infty, o outro para -\infty). Para que um limite (mesmo no sentido estendido) exista, todas as formas de aproximar devem dar o mesmo resultado. Como aqui duas formas dão resultados contraditórios, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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