Considerando caminhos diferentes que se aproximam da origem, mostre que os limites dos exercícios a e b não existem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. As informações relevantes que vamos usar são:
- A expressão da função é
. - As variáveis são levadas simultaneamente a
e . - Para provar que um limite de duas variáveis não existe basta encontrar duas maneiras (dois caminhos) de aproximar os pontos finais que dão resultados diferentes.
Passo 2
Primeiro faça uma simplificação algébrica que deixa a análise bem clara. Note que
Explicando devagar: dividir
por
dá
, e dividir
por
dá
. Então a função é a soma de
com
.
Agora uma observação importante de limite: quando
temos
. Assim, qualquer comportamento do quociente ao fazer
e
ficará dominado por
(porque
vira negligível). Portanto o valor limite (se existir) será controlado por como
tende a
.
Passo 3
Escolha um primeiro caminho: faça
e
com
. Assim
e
. Pela forma simplificada,
Quando
isso tende a
. Ou seja, ao aproximar com
por
obtemos divergência para
.
Passo 4
Escolha um segundo caminho diferente: faça
e
com
. Assim
e
. Novamente,
Quando
isso tende a
. Ou seja, aproximando com
por
obtemos divergência para
.
Passo 5
Interpretando os passos 3 e 4: encontramos duas sequências (dois caminhos) que respeitam
e
, mas que dão comportamentos limites diferentes (um vai para
, o outro para
). Para que um limite (mesmo no sentido estendido) exista, todas as formas de aproximar devem dar o mesmo resultado. Como aqui duas formas dão resultados contraditórios, o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.